2007年全国统一高考理科数学试卷（上海卷）-优题课

函数 $f (x) = \frac{l g (4 - x)}{x - 3}$ 的定义域为.

已知 $l_{1} : 2 x + m y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : y = 3 x - 1$ ，若两直线平行，则 $m$ 的值为.

函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的反函数 $f^{- 1} (x) =$ .

方程 $9^{x} - 6 \cdot 3^{x} - 7 = 0$ 的解是.

已知 $x, y \in R^{+}$ ，且 $x + 4 y = 1$ ，则 $x \cdot y$ 的最大值为

函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) \sin (x + \frac{π}{2})$ 的最小正周期是 $T =$

有数字 $1, 2, 3, 4, 5$ ，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为.

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

若 $a, b$ 为非零实数，则下列四个命题都成立：
① $a + \frac{1}{a} \neq 0$ ② $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ③若 $|a| = |b|$ ，则④若 $a^{2} = a b$ ，则 $a = b$

则对于任意非零复数 $a, b$ ，上述命题仍然成立的序号是。

平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合.已知两个相交平面 $α, β$ 与两直线 $l_{1}, l_{2}$ ，又知 $l_{1}, l_{2}$ 在 $α$ 内的射影为 $s_{1}, s_{2}$ ，在 $β$ 内的射影为 $t_{1}, t_{2}$ .试写出 $s_{1}, s_{2}$ 与 $t_{1}, t_{2}$ 满足的条件，使之一定能成为 $l_{1}, l_{2}$ 是异面直线的充分条件.

已知圆的方程 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ， $P$ 为圆上任意一点（不包括原点）。直线 $O P$ 的倾斜角为 $θ$ 弧度， $|O P| = d$ ，则 $d = f (θ)$ 的图象大致为 .

已知 $2 + a i, b + i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两根，则 $p, q$ 的值为（）

A．

p = - 4, q = 5

B．

p = 4, q = 5

C．

p = 4, q = - 5

D．

p = - 4, q = - 5

已知 $a, b$ 为非零实数，且 $a < b$ ，则下列命题成立的是（）

A．

a^{2} < b^{2}

B．

a b^{2} < a^{2} b

C．

\frac{1}{a b^{2}} < \frac{1}{a^{2} b}

D．

\frac{b}{a} < \frac{a}{b}

在直角坐标系 $x O y$ 中， $\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴平行的单位向量，若直角三角形 $A B C$ 中， $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{i} + \overset{⇀}{j}$ ， $\overset{⇀}{A C} = 3 \overset{⇀}{i} + k \overset{⇀}{j}$ ，则 $k$ 的可能值有

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知 $f (x)$ 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 $k$ ，若 $f (k) \geq k^{2}$ 成立，则 $f (k + 1) \geq {(k + 1)}^{2}$ 成立，下列命题成立的是（）

A．	若 $f (2) \geq 9$ 成立，则对于任意 $k \geq 1$ ，均有 $f (k) \geq k^{2}$ 成立；
B．	若 $f (4) \geq 16$ 成立，则对于任意的 $k \geq 4$ ，均有 $f (k) < k^{2}$ 成立；
C．	若 $f (7) \geq 49$ 成立，则对于任意的 $k < 7$ ，均有 $f (k) < k^{2}$ 成立；
D．	若 $f (4) = 25$ 成立，则对于任意的 $k \geq 4$ ，均有 $f (k) \geq k^{2}$ 成立。

体积为1的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{°}, A C = B C = 1$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角.

在三角形 $A B C$ 中， $a = 2$ ， $C = \frac{π}{4}$ , $\cos \frac{B}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求三角形 $A B C$ 的面积 $S$ .

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知 $2002$ 年全球太阳能年生产量为 $670$ 兆瓦，年增长率为 $34 %$ 。在此后的四年里，增长率以每年 $2 %$ 的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为 $36 %$ ）
（1）求 $2006$ 年的太阳能年生产量（精确到 $0.1$ 兆瓦）
（2）已知 $2006$ 年太阳能年安装量为 $1420$ 兆瓦，在此后的 $4$ 年里年生产量保持 $42 %$ 的增长率，若 $2010$ 年的年安装量不少于年生产量的 $95 %$ ，求 $4$ 年内年安装量的增长率的最小值（精确到 $0.1 %$ ）

已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x} (x \neq 0, a \in R)$

（1）判断 $f (x)$ 的奇偶性

（2）若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 是增函数，求实数 $a$ 的范围.

若有穷数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ （ $n$ 是正整数），满足 $a_{1} = a_{n}, a_{2} = a_{n - 1}, . . . a_{n} = a_{1}$ 即 $a_{i} = a_{n - i + 1}$ （ $i$ 是正整数，且 $1 \leq i \leq n$ ），就称该数列为"对称数列"。
（1）已知数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的对称数列，且 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等差数列， $b_{1} = 2, b_{4} = 11$ ，试写出 $\{b_{n}\}$ 的每一项
（2）已知 $\{c_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \geq 1)$ 的对称数列，且 $c_{k}, c_{k - 1}, . . . c_{2 k - 1}$ 构成首项为50，公差为 $- 4$ 的等差数列，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 k - 1$ 项和为 $S_{2 k - 1}$ ，则当 $k$ 为何值时， $S_{2 k - 1}$ 取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数 $m > 1$ ，试写出所有项数不超过 $2 m$ 的对称数列，使得 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{m - 1}$ 成为数列中的连续项；当 $m > 1500$ 时，试求其中一个数列的前2008项和 $S_{2008}$

已知半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 组成的曲线称为"果圆"，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}, a > 0, b > c > 0$ .如图，设点 $F_{0}, F_{1}, F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是"果圆" 与 $x$ ， $y$ 轴的交点，
（1）若三角形 $F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；
（2）若 $|A_{1} A| > |B_{1} B|$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 $k$ ，使得斜率为 $k$ 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 $k$ 的值；若不存在，说明理由.