2007年全国统一高考理科数学试卷（浙江卷）-优题课

" $x > 1$ "是" $x^{2} > x$ "的（）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充分不必要条件	D．	既不充分也不必要条件

若函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ ， $x \in R$ （其中 $ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期是 $π$ ，且 $f (0) = \sqrt{3}$ ，则（）

A．	$ω = \frac{1}{2}, φ = \frac{π}{6}$	B．	$ω = \frac{1}{2}, φ = \frac{π}{3}$
C．	$ω = 2, φ = \frac{π}{6}$	D．	$ω = 2, φ = \frac{π}{3}$

直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 关于直线 $x = 1$ 对称的直线方程是（　　）

A．	$x + 2 y - 1 = 0$	B．	$2 x + y - 1 = 0$
C．	$2 x + y - 3 = 0$	D．	$x + 2 y - 3 = 0$

要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（　　）

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = 0.84$ ，则 $P (ξ \leq 0)$ =（）

A．	$0.16$
B．	$0.32$
C．	$0.68$
D．	$0.84$

若 $P$ 两条异面直线 $l, m$ 外的任意一点，则（）

A．	过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l, m$ 都平行
B．	过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l, m$ 都垂直
C．	过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l, m$ 都相交
D．	过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l, m$ 都异面

若非零向量 $a, b$ 满足 $|a + b| = |b|$ ，则（）

A．	$\|2 a\| > \|2 a + b\|$	B．	$\|2 a\| < \|2 a + b\|$
C．	$\|2 b\| > \|a + 2 b\|$	D．	$\|2 b\| < \|a + 2 b\|$

设 $f ` (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，将 $y = f (x)$ 和 $y = f ` (x)$ 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

A．		B．
C．		D．

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是准线上一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4 a b$ ，则双曲线的离心率是（）

A．

\sqrt{2}

B．

\sqrt{3}

C．

2

D．

3

设 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, |x \geq 1| \\ x, |x| < 1 \end{cases}$ , $g (x)$ 是二次函数，若 $f (g (x))$ 的值域是 $[0, + \infty)$ ，则 $g (x)$ 的值域是（）

A．	$(- \infty, - 1] [1, + \infty)$	B．	$(- \infty, - 1] [0, + \infty)$
C．	$[0, + \infty)$	D．	$[1, + \infty)$

已知复数 $z_{1} = 1 - i, z_{1} z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{2} =$ ．

已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，且 $\frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{4}$ ，则 $c o s 2 θ$ 的值是．

不等式 $|2 x - 1| - x < 1$ 的解集是．

某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．

随机变量 $ζ$ 的分布列如下：

其中 $a, b, c$ 成等差数列，若 $E ζ = \frac{1}{3}$ ，则 $D ζ$ 的值是 .

已知点 $O$ 在二面角 $α - A B - β$ 的棱上，点 $P$ 在 $α$ 内，且 $∠ P O B = 45^{o}$ ．若对于 $β$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$ ，都有 $∠ P O Q ⩾ 45^{o}$ ，则二面角 $α - A B - β$ 的大小是．

设 $m$ 为实数，若 $\{(x, y) \{\begin{cases} \begin{matrix} x - 2 y + 5 \geq 0 \\ 3 - x \geq 0 \\ m x + y \geq 0 \end{matrix} \end{cases}\} \subseteq {(x, y) x^{2} + y^{2} \leq 25}$ ，则M的取值范围是．

已知 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$ ．
（I）求边 $A B$ 的长；
（II）若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} \sin C$ ，求角 $C$ 的度数．

在如图所示的几何体中， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D B ⊥$ 平面 $A B C$ , $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C = B D = 2 A E$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点．

（I）求证： $C M ⊥ E M$ ；
（II）求 $C M$ 与平面 $C D E$ 所成的角．

如图，直线 $y = k x + b$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点，记 $△ A O B$ 的面积为 $S$ ．

（I）求在 $k = 0, 0 < b < 1$ 的条件下， $S$ 的最大值；
（II）当 $|A B| = 2, S = 1$ 时，求直线 $A B$ 的方程．

已知数列 ${a_{n}}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}$ $a_{2 k}$ ,是关于的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, . . .)$ .

（I）求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；
（II）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；
（Ⅲ）记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{| \sin n |}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{(- 1)^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{(- 1)^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{(- 1)^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + . . . + \frac{(- 1)^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，

求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

设 $f (x) = \frac{x^{3}}{3}$ ，对任意实数 $t$ ，记 $g_{t} (x) = t^{\frac{2}{3}} x - \frac{2}{3} t$ ．
（I）求函数 $y = f (x) - g_{t} (x)$ 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g_{t} (x)$ 对任意正实数 $t$ 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 $x_{0}$ ，使得 $g_{x} (x_{0}) \geq g_{t} (x_{0})$ 对任意正实数 $t$ 成立．