2011年全国统一高考理科数学试卷（大纲卷）-优题课

1,复数 $z = 1 + i$ , $z$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $z z - z - 1 =$ （）

$- 2 i$

$- i$

$i$

$2 i$

函数 $y = 2 \sqrt{x} (x \geq 0)$ 的反函数为

A．

$y = 2 \sqrt{x} (x \geq 0)$

B．

$y = \frac{x^{2}}{4} (x \geq 0)$

C．

$y = 4 x^{2} (x \in R)$

D．

$y = 4 x^{2} (x \geq 0)$

下面四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分而不必要的条件是

A．

a > b + 1

B．

a > b - 1

C．

a^{2} > b^{2}

D．

a^{3} > b^{3}

设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2, S_{k + 2} - S_{k} = 24$ ，则 $k =$ ( )

A．

8

B．

7

C．

6

D．

5

设函数 $f (x) = \cos ω x (ω > 0)$ ，将 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 $ω$ 的最小值等于（）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

3

C．

6

D．

9

已知直二面角 $α - l - β$ ，点 $A \in α, A C ⊥ l, C$ 为垂足， $B \in β, B D ⊥ l, D$ 为垂足，若，则到平面的距离等于（）

A．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

D．

$1$

某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

A．

4种

B．

10种

C．

18种

D．

20种

曲线 $y = e^{2 x} + 1$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线与直线 $y = 0$ 和 $y = x$ 围成的三角形的面积为（）

A．

\frac{1}{3}

B．

\frac{1}{2}

C．

\frac{2}{3}

D．

1

设 $f (x)$ 是周期为2的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x (1 - x)$ ,则 $f (- \frac{5}{2})$ =（）

$- \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 2 x - 4$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\cos ∠ A F B =$ （）

A．

$\frac{4}{5}$

B．

$\frac{3}{5}$

C．

$- \frac{3}{5}$

D．

$- \frac{4}{5}$

已知平面 $α$ 截一球面得圆 $M$ ，过圆心 $M$ 且与 $α$ 成 $60^{°}$ 二面角的平面 $β$ 截该球面得圆 $N$ ，若该球面的半径为4.圆M的面积为 $4 π$ ，则圆 $N$ 的面积为（）

A．

7 π

B．

9 π

C．

11 π

D．

13 π

设向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ 满足 $|\overset{⇀}{a}| = |\overset{⇀}{b}| = 1$ , $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - \frac{1}{2}$ , $< \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{c} > = 60 °$ ，则 $|\overset{⇀}{c}|$ 的最大值等于（）

A．

2

B．

\sqrt{3}

C．

\sqrt{2}

D．

1

${(1 - \sqrt{x})}^{20}$ 的二项展开式中， $x$ 的系数与 $x^{9}$ 的系数之差为.

已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan 2 α =$ .

已知 $F_{1}$ , $F_{2}$ $F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{27} = 1$ 的左，右焦点,点 $A$ 属于 $C$ ,点 $M$ 的坐标为（2,0） $A M$ 为角 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的平分线,则 $|A F_{2}| =$ .

已知 $E, F$ 分别在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1} ， C C_{1}$ 上，且 $B_{1} E = 2 E B, C F = 2 F C$ ，则面 $A E F$ 与面 $A B C$ 所成的二面角的正切值等于.

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $A - C = 90^{°}, a + c = \sqrt{2} b$ ，求 $C$

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ） $X$ 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 $X$ 的期望。

如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ∥ C D, B C ⊥ C D$ ,侧面 $S A B$ 为等边三角形， $A B = B C = 2$ ， $C D = S D = 2$

（Ⅰ）证明： $S D ⊥ 平面 S A B$ ;
（Ⅱ）求 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成的角的大小。

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ , $\frac{1}{1 - a_{n + 1}} - \frac{1}{1 - a_{n}} = 1$

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1 - \sqrt{a_{n + 1}}}{\sqrt{n}}$ ，记 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ ，证明： $S_{n} < 1$ .

已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与交 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{0}$ .

（Ⅰ）证明：点 $P$ 在 $C$ 上；

（Ⅱ）设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$ ，证明： $A, P, B, Q$ 四点在同一个圆上.

（Ⅰ）设函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{2 x}{x + 2}$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$

（Ⅱ）从编号 $1$ 到 $100$ 的 $100$ 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$ 次，设抽到的 $20$ 个号码互不相同的概率为 $p$ ，证明： $p < {(\frac{9}{10})}^{19} < \frac{1}{e^{2}}$