2011年全国统一高考文科数学试卷（大纲卷）-优题课

设集合 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ , $M = \{1, 2, 3\}$ $N = \{2, 3, 4\}$ 则 $C_{U} (M \cap N)$ $=$ （）

A．

\{1, 2\}

B．

\{2, 3\}

C．

\{2, 4\}

D．

\{1, 4\}

函数 $y = 2 \sqrt{x} (x \geq 0)$ 的反函数为

A．	$y = \frac{x^{2}}{4} (x \in R)$	B．	$y = \frac{x^{2}}{4} (x \geq 0)$
C．	$y = 4 x^{2} (x \in R)$	D．	$y = 4 x^{2} (x \geq 0)$

设向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $|\overset{⇀}{a}| = |\overset{⇀}{b}| = 1$ , $\overset{⇀}{a \cdot} \overset{⇀}{b} = - \frac{1}{2}$ ,则 $|\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}| =$ （）

A．

\sqrt{2}

B．

\sqrt{3}

C．

\sqrt{5}

D．

\sqrt{7}

若变量 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 6 \\ x - 3 y \leq - 2 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最小值为

A．

17

B．

14

C．

5

D．

3

下面四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分而不必要的条件是

A．

a > b + 1

B．

a > b - 1

C．

a^{2} > b^{2}

D．

a^{3} > b^{3}

设 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2$ ， $S_{k + 2} - S_{k} = 24$ ，则 $k =$ （）

A．

8

B．

7

C．

6

D．

5

设函数 $f (x) = \cos ω x (ω > 0)$ ，将 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 $ω$ 的最小值等于（）

A．

\frac{1}{3}

B．

3

C．

6

D．

9

已知直二面角 $α - l - β$ ,点 $A \in α, A C ⊥ l, C$ 为垂足, $B \in β, B D ⊥ l$ , $D$ 为垂足,若 $A B = 2, A C = B D = 1$ ,则 $C D =$ （）

A．

2

B．

\sqrt{3}

C．

\sqrt{2}

D．

1

4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）

A．

12种

B．

24种

C．

30种

D．

36种

设 $f (x)$ 是周期为2的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x (1 - x)$ ,则 $f (- \frac{5}{2}) =$ （）

A．

- \frac{1}{2}

B．

- \frac{1}{4}

C．

\frac{1}{4}

D．

\frac{1}{2}

设两圆 $C_{1}, C_{2}$ 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 $|C_{1} C_{2}|$ =

A．

4

B．

4 \sqrt{2}

C．

8

D．

8 \sqrt{2}

已知平面 $α$ 截一球面得圆 $M$ ，过圆心 $M$ 且与 $α$ 成 $60 °$ 二面角的平面β截该球面得圆 $N$ .若该球面的半径为4，圆 $M$ 的面积为 $4 π$ ，则圆 $N$ 的面积为

A．

7 π

B．

9 π

C．

11 π

D．

13 π

$(1 - x)^{10}$ 的二项展开式中， $x$ 的系数与 $x^{9}$ 的系数之差为.

已知 $a \in (π, \frac{3 π}{2}), \tan a = 2$ ,则 $\cos a =$ .

已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为.

已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ : $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{27} = 1$ 的左、右焦点，点 $A \in C$ ，点 $M$ 的坐标为 $(2, O)$ ， $A M$ 为 $∠ F_{1} A F_{2_{}}$ 的平分线．则 $|A F_{2}|$ =.

设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $a_{2} = 6,$ $6 a_{1} + a_{2} = 30$ 求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ .

$∆ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ .己知 $a \sin A + c \sin C - \sqrt{2} a \sin C = b \sin B$ .
(Ⅰ)求 $B$ ；
(Ⅱ)若 $A = 75^{°}, b = 2$ ,求 $a, c$ .

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B / / C D$ , $B C ⊥ C D$ ，侧面 $S A B$ 为等边三角形. $A B = B C = 2, C D = S D = 1$ .

（1）证明： $S D ⊥$ 平面 $S A B$ .

（2）求 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的大小.

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + (3 - 6 a) x + 12 a - 4 (a \in R)$ .

(1)证明：曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线过点 $（ 2, 2)$ ;
(2）若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最小值， $x_{0} \in (1, 3)$ ,求 $a$ 的取值范围.

已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交与 $A, B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{0}$ .

(1)证明：点 $P$ 在 $C$ 上；
(2)设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$ ，证明： $A, P, B, Q$ 四点在同一圆上.