2015年普通高中招生考试安徽省市高考理科数学-优题课

设 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ a 为

A．

B．

C．

- \frac{1}{2}

D．

\frac{1}{2}

双曲线 $2 x^{2} - y^{2} = 8$ 的实轴长是（）

A．

B．

2 \sqrt{2}

C．

D．

4 \sqrt{2}

设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数,当 $x \leq 0$ 时, $f (x) = 2 x^{2} - x$ ,则 $f (1) =$ （）

A．

-3

B．

-1

C．

D．

设变量 $x, y$ 满足 $|x| + |y| \leq 1$ 则 $x + 2 y$ 的最大值和最小值分别为（）

A．

1

，

- 1

B．

2

，

- 2

C．

1

，

- 2

D．

2

，

- 1

在极坐标系中，点 $(2, \frac{π}{3})$ 到圆 $ρ = 2 \cos θ$ 的圆心的距离为

A．

B．

\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{9}}

C．

\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{9}}

D．

\sqrt{3}

一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

32 + 8 \sqrt{17}

48 + 8 \sqrt{17}

命题"所有能被2整除的数都是偶数"的否定是

A．	所有不能被2整除的数都是偶数
B．	所有能被2整除的数都不是偶数
C．	存在一个不能被2整除的数是偶数
D．	存在一个能被2整除的数不是偶数

设集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ $B = {4, 5, 6, 7}$ 则满足 $S \subset A$ 且 $S \cap B \neq ϕ$ 的集合 $S$ 的个数为

A．

B．

C．

D．

已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ，其中 $φ$ 为实数，若 $f (x) \leq |f (\frac{π}{6})|$ 对 $x \in R$ 恒成立，且 $f (\frac{π}{2}) > f (π)$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A．	$[k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$	B．	$[k π, k π + \frac{π}{2}] (k \in Z)$
C．	$[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$	D．	$[k π - \frac{π}{2}, k π] (k \in Z)$

函数 $f (x) = a x^{m} g {(1 - x)}^{n}$ 在区间 $(0, 1)$ 上的图像如图所示，则 $m, n$ 的值可能是（）

A．	$m = 1, n = 1$	B．	$m = 1, n = 2$
C．	$m = 2, n = 1$	D．	$m = 3, n = 1$

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果.

设 $(x - 1)^{21} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + L + a_{21} x^{21}$ ，则.

已知向量 $a, b$ 满足 $(a + 2 b) (a - b) = - 6$ ，且 $|a| = 1, |b| = 2$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为.

已知 $△ A B C$ 的一个内角为 $120^{°}$ ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 $△ A B C$ 的面积为.

在平面直角坐标系中,如果 $x$ 与 $y$ 都是整数,就称点 $(x, y)$ 为整点,下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果 $k$ 与 $b$ 都是无理数,则直线 $y = k x + b$ 不经过任何整点
③直线 $l$ 经过无穷多个整点,当且仅当 $l$ 经过两个不同的整点
④直线 $y = k x + b$ 经过无穷多个整点的充分必要条件是: $k$ 与 $b$ 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线

设 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + a x}$ ，其中 $a$ 为正实数
（Ⅰ）当 $a = \frac{4}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围。

如图， $A B C D E F G$ 为多面体，平面 $A B E D$ 与平面 $A G F D$ 垂直，点 $O$ 在线段 $A D$ 上， $O A = 1, O D = 2, △ O A B, △ O A C, △ O D E, △ O D F$ 都是正三角形.
（Ⅰ）证明直线 $B C ∥ E F$ ；
（2）求棱锥 $F - O B E D$ 的体积.

在数1和100之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$ ，再令 $a_{n} = l g T_{n}$ , $n \geq 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n + 1}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

（Ⅰ）设 $x \geq 1$ , $y \geq 1$ ,证明: $x + y + \frac{1}{x y} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + x y$ .

（Ⅱ） $1 \leq a \leq b \leq c$ ，证明: $\log_{a} b + \log_{b} c \leq \log_{b} a + \log_{c} b + \log_{a} c$ .

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，假设 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。

（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ ，其中 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 是 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 的一个排列，求所需派出人员数目 $X$ 的分布列和均值（数学期望） $E X$ ；

（Ⅲ）假定_{$1 > p_{1} > p_{2} > p_{3}$}，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

设 $λ > 0$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1, 1)$ ，点 $B$ 在抛物线 $y = X^{2}$ 上运动，点 $Q$ 满足 $\underset{B Q}{\to} = λ \underset{Q A}{\to}$ ，经过 $Q$ 点与 $M$ $x$ 轴垂直的直线交抛物线于点 $M$ ，点 $P$ 满足 $\underset{Q M}{\to} = λ \underset{M P}{\to}$ ,求点 $P$ 的轨迹方程。