普通高等学校招生全国统一考试理科数学-优题课

已知 $i$ 是虚数单位，则 $(- 1 + i) (2 - i) =$ （　　）

- 3 + i

- 1 + 3 i

- 3 + 3 i

- 1 + i

设集合 $S = {x x > - 2}$ ， $T = {x x^{2} + 3 x - 4 \leq 0}$ ，则 $(C_{R} S) \cup T =$ （　　）

（﹣2，1] （﹣∞，﹣4] （﹣∞，1] [1，+∞）

已知 $x, y$ 为正实数，则（）

A．	$2^{l g x + l g y} = 2^{l g x} + 2^{l g y}$	B．	$2^{l g (x + y)} = 2^{l g x} \cdot 2^{l g y}$
C．	$2^{l g x \cdot l g y} = 2^{l g x} + 2^{l g y}$	D．	$2^{l g (x y)} = 2^{l g x} \cdot 2^{l g y}$

已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + ϕ) (A > 0, ω > 0, ϕ \in R)$ ，则" $f (x)$ 是奇函数"是" $ϕ = \frac{π}{2}$ "的（）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 $\frac{9}{5}$ ，则（）

A．

a = 4

B．

a = 5

C．

a = 6

D．

a = 7

已知 $α \in R, \sin α + 2 \cos α = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则 $\tan 2 α =$

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

- \frac{3}{4}

- \frac{4}{3}

设 $△ A B C$ ， $P_{0}$ 是边 $A B$ 上一定点，满足 $P_{0} B = \frac{1}{4} A B$ ，且对于边 $A B$ 上任一点 $P$ ，恒有 $\overset{⇀}{P B} \cdot \overset{⇀}{P C} ⩾ \overset{⇀}{P_{0} B} \cdot \overset{⇀}{P_{0} C}$

∠ A B C = 90 °

∠ B A C = 90 °

A B = A C

A C = B C

已知 $e$ 为自然对数的底数，设函数 $f (x) = (e^{x} - 1) {(x - 1)}^{k} (k = 1, 2)$ ，则（）

A．	当 $k = 1$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值
B．	当 $k = 1$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值
C．	当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值
D．	当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值

如图 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ 的公共焦点 $A$ 、 $B$ 分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 在第二、四象限的公共点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形，则 $C_{2}$ 的离心率是（　　）

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

在空间中，过点A作平面 $π$ 的垂线，垂足为B，记 $B = f_{n} (A)$ .设 $α, β$ 是两个不同的平面，对空间任意一点 $P, Q_{1} = f_{β} [f_{α} (P)], Q_{2} = f_{α} [f_{β} (P)]$ 恒有 $P Q_{1} = P Q_{2}$ ，则（）

A．平面 $α$ 与平面 $β$ 垂直
B．平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的（锐）二面角为45°
C．平面 $α$ 与平面 $β$ 平行
D．平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的（锐）二面角为60°

设二项式 $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{5}$ 的展开式中常数项为 $A$ ，则 $A$ =．

若某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则此几何体的体积等于 $c m^{3}$ ．

设 $z = k x + y$ ，其中实数 $x, y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 2 x - y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，若 $z$ 的最大值为12，则实数 $k =$ ．

将 $A, B, C, D, E, F$ 六个字母排成一排，且 $A, B$ 均在 $C$ 的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）

设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $P (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $A, B$ ,点 $Q$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $|F Q| = 2$ ，则直线 $l$ 的斜率等于．

$∆ A B C$ 中 $∠ C = 90 °, M$ 是 $B C$ 的中点，若 $\sin ∠ B A M = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin ∠ B A C =$

设 $\overset{⇀}{e_{1}}$ 、 $\overset{⇀}{e_{2}}$ 为单位向量，非零向量 $\overset{⇀}{b} = x \overset{⇀}{e_{1}} + y \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $x$ 、 $y \in R$ ．若 $\overset{⇀}{e_{1}}$ 、 $\overset{⇀}{e_{2}}$ 的夹角为 $30^{°}$ ，则 $\frac{|x|}{|\overset{⇀}{b}|}$ 的最大值等于．

在公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 10$ ，且 $a_{1} ， 2 a_{2} + 2 ， 5 a_{3}$ 成等比数列．
（1）求 $d ， a_{n}$ ；
（2）若 $d ＜ 0$ ，求 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} |$ ．

设袋子中装有 $a$ 个红球， $b$ 个黄球， $c$ 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当 $a$ =3， $b$ =2， $c$ =1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量 $ξ$ 为取出此2球所得分数之和．，求 $ξ$ 分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量 $η$ 为取出此球所得分数．若 $E η = \frac{5}{3}, D η = \frac{5}{9}$ ，求 $a$ ： $b$ ： $c$ ．

如图，在四面体 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D, A D = 2, B D = 2 \sqrt{2}$ ． $M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，且 $A Q = 3 Q C$ ．
（1）证明： $P Q ∥$ 平面 $B C D$ ；
（2）若二面角 $C - B M - D$ 的大小为60°，求 $∠ B D C$ 的大小．

如图，点 $P$ （0，﹣1）是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点， $C_{1}$ 的长轴是圆 $C_{2}$ ： $X^{2} + Y^{2} = 4$ 的直径， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_{1}$ 交圆 $C_{2}$ 于 $A, B$ 两点， $l_{2}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于另一点 $D$ ．
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（2）求 $△ A B D$ 面积的最大值时直线 $l_{1}$ 的方程．

已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 a x - 3 a + 3$ ．
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）当 $x \in [0, 2]$ 时，求 $|f (x)|$ 的最大值．