普通高等学校招生全国统一考试理科数学-优题课

复数 $\frac{i^{2} + i^{3} + i^{- 1}}{1 - i}$ =（）

A．

- \frac{1}{1} - \frac{1}{2} i

B．

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

C．

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

D．

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

" $x ＜ - 1$ "是" $x^{2} - 1 ＞ 0$ "的（）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充要条件	D．	既不充分也不必要条件

已知 $\underset{x \to \infty}{l i m} (\frac{2}{x - 1} + \frac{a x - 1}{3 x}) = 2$ ，则 $a =$ （）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

6

${(1 + 3 x)}^{n}$ （其中 $n \in N$ 且 $n \geq 6$ )的展开式中 $x^{5}$ 与 $x^{6}$ 的系数相等,则 $n =$ （）

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

下列区间中，函数 $f (x) = |l g (2 - x)|$ 在其上为增函数的是（）

A．

(- \infty, 1]

B．

[- 1, \frac{4}{3}]

C．

[0, \frac{3}{2})

D．

(1, 2)

若 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边 $a, b, c$ 满足 $(a + b)^{2} - c^{2} = 4$ ，且 $C = 60^{°}$ ，则 $a b$ 的值为（）

A．

\frac{4}{3}

B．

8 - 4 \sqrt{3}

C．

1

D．

\frac{2}{3}

已知 $a > 0, b > 0 a + b = 2$ ，则 $y = \frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是（）

A．

\frac{7}{2}

B．

4

C．

\frac{9}{2}

D．

5

在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 内，过点 $E (0, 1)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A．

5 \sqrt{2}

B．

10 \sqrt{2}

C．

15 \sqrt{2}

D．

20 \sqrt{2}

高为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为1的正方形，点 $S, A, B, C, D$ 均在半径为1的同一球面上，则底面 $A B C D$ 的中心与顶点 $S$ 之间的距离为（）

A．

\frac{\sqrt{2}}{4}

B．

\frac{\sqrt{2}}{2}

C．

1

D．

\sqrt{2}

设 $m, k$ 为整数，方程 $m x^{2} - k x + 2 = 0$ 在区间（0，1）内有两个不同的根，则 $m + k$ 的最小值为（）

A．

﹣8

B．

8

C．

12

D．

13

在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{7} = 37$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =$ ．

已知单位向量 $\underset{e_{i}}{\to}$ ， $\underset{e_{j}}{\to}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，则 $|2 \underset{e_{i}}{\to} - \underset{e_{j}}{\to}|$ =．

将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．

已知 $\sin α = \frac{1}{2} + \cos α$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{\cos 2 α}{\sin (α - \frac{π}{4})}$ 的值为．

动圆的圆心在抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上，且动圆恒与直线 $x + 2 = 0$ 相切，则动圆必过点．

设 $a \in R$ $f (x) = \cos x (a \sin x - \cos x) + \cos^{2} (\frac{π}{2} - x)$ 满足 $f (- \frac{π}{3}) = f (0)$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{11 π}{24}]$ 上的最大值和最小值．

某市公租房的房源位于 $A, B, C$ 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请 $A$ 片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的 $ξ$ 分布列与期望．

设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 的导数 $f ` (x)$ 满足 $f ` (1) = 2 a, f ` (2) = - b$ ，其中常数 $a, b \in R$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．
（Ⅱ）设 $g (x) = f ` (x) e^{- x}$ ．求函数 $g (x)$ 的极值．

如图，在四面体 $A B C D$ 中，平面 $A B C ⊥ A C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = C D$ ， $∠ C A D = 30 °$

（Ⅰ）若 $A D = 2$ ， $A B = 2 B C$ ，求四面体 $A B C D$ 的体积．
（Ⅱ）若二面角 $C ﹣ A B ﹣ D$ 为 $60 °$ ，求异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值．

如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，一条准线的方程为 $x = 2 \sqrt{2}$

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O M} + 2 \overset{⇀}{O N}$ ，其中 $M, N$ 是椭圆上的点．直线 $O M$ 与 $O N$ 的斜率之积为-0.5．问：是否存在两个定点 $F_{1}, F_{2}$ ，使得 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 为定值．若存在，求 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

设实数数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_{n + 1} S_{n}$ $（ n \in N^{*} ）$ ．
（Ⅰ）若 $a_{1} ， S_{2} ， ﹣ 2 a_{2}$ 成等比数列，求 $S_{2} 和 a_{3}$ ．
（Ⅱ）求证：对 $k \geq 3$ 有 $0 \leq a_{k} \leq \frac{4}{3}$ ．