普通高等学校招生全国统一考试文科数学-优题课

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1 - 3 i}{1 - i}$ =

2 - i

2 + i

- 1 - 2 i

- 1 + 2 i

设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x ⩾ 1 \\ x + y - 4 ⩽ 0 \\ x - 3 y + 4 ⩽ 0 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 3 x - y$ 的最大值为

﹣4 0

4

阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 $x$ 的值为﹣4，则输出 $y$ 的值为

0.5 1 2 4

设集合 $A = {x \in R x - 2 > 0}$ ， $B = {x \in R x < 0}$ ， $C = {x \in R x (x - 2) > 0}$ ，则" $x \in A \cup B$ "是" $x \in C$ "的（）

充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件即不充分也不必要条件

已知 $a = \log_{2} 3.6$ ， $b = \log_{4} 3.2$ ， $c = \log_{4} 3.6$ ,则（）

a > b > c

a > c > b

b > a > c

c > a > b

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $（ a ＞ 0, b ＞ 0 ）$ 的左顶点与抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 $(- 2, - 1)$ ，则双曲线的焦距为（）

A．

2

\sqrt{3}

B．

2

\sqrt{5}

C．

4

\sqrt{3}

D．

4

\sqrt{5}

已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ), x \in R$ ,其中 $ω > 0, - π < ϕ < π$ .若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $6 π$ ，且当 $x = \frac{π}{2}$ 时， $f (x)$ 取得最大值，则

f (x)

在区间

[- 2 π, 0]

上是增函数

f (x)

在区间

[- 3 π, - π]

上是增函数

f (x)

在区间

[3 π, 5 π]

上是减函数

f (x)

在区间

[4 π, 6 π]

上是减函数

对实数 $a$ 与 $b$ ，定义新运算"⊗"： $a$ ⊗ $b$ = ${\begin{matrix} a, a - b \leq 1 \\ b, a - b > 1 \end{matrix}$ ．设函数 $f (x) = (x^{2} - 2)$ ⊗ $(x - 1)$ ， $x \in R$ ．若函数 $y = f (x) - c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围

（）

$(﹣ 1, 1] \cup (2, + \infty)$

$(- 2, - 1] \cup (1, 2]$

$(- \infty, - 2) \cup (1, 2]$

$[- 2, - 1]$

已知集合 $A = {x \in R | | x ﹣ 1 | ＜ 2}$ ， $Z$ 为整数集，则集合 $A \cap Z$ 中所有元素的和等于．

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ），则这个几何体的体积为 $m^{3}$ ．

已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $n \in N^{*}$ ，若 $a_{3} = 16$ ， $S_{20} = 20$ ，则 $S_{10}$ 值为．

已知 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq 1$ ，则 $3^{a} + 9^{b}$ 的最小值为．

如图，已知圆中两条弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F, E$ 是 $A B$ 延长线上一点，且 $D F = C F = \sqrt{2}$ ， $A F : F B : B E = 4 : 2 : 1$ ．若 $C E$ 与圆相切，则 $C E$ 的长为．

已知直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ A D C = 90^{°}, A D = 2, B C = 1$ ， $P$ 是腰 $D C$ 上的动点，则 $|\vec{P A} + 3 \vec{P B}|$ 的最小值为．

编号为 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$
	得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	$A_{9}$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	$A_{16}$
	得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40]$
人数

（Ⅱ）从得分在区间 $[20, 30)$ 内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．

在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $B = C, 2 b = \sqrt{3} a$ ．

(Ⅰ)求 $\cos A$ 的值；
(Ⅱ) $\cos (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

如图，在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45 °$ ， $A D = A C = 1$ ， $O$ 为 $A C$ 中点， $P O ⊥ 平面 A B C D$ ， $P O = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 中点．

（Ⅰ）证明： $P B ∥ 平面 A C M$ ；
（Ⅱ）证明： $A D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅲ）求直线 $A M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,点 $P (a, b)$ 满足 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)设直线 $P F_{2}$ 与椭圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16$ 相交于 $A, B$ ,两点若直线 $P F_{2}$ 与圆相交于 $M, N$ 两点,且 $|M N| = \frac{5}{8} |A B|$ ,求椭圆的方程．

已知函数 $f (x) = 4 x^{3} + 3 t x^{2} - 6 t^{2} x + t - 1$ ， $x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（Ⅰ）当 $t = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）当 $t \neq 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的 $t \in (0, + \infty)$ ， $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内均存在零点．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 ${b_{n}}_{+ 1} a_{n} + b_{n} a_{n + 1} = {(- 2)}^{n} + 1, b_{n} = \frac{3 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}, n \in N *, 且 a_{1} = 2 ．$

（1）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值
（2）设 $c_{n} = a_{2 n + 1} ﹣ a_{2 n - 1}, n \in N^{*}$ ,证明 $\{c_{n}\}$ 是等比数列
（3）设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{S_{2 n - 1}}{a_{2 n - 1}} + \frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} ⩽ n - \frac{1}{3} (n \in N^{*})$