全国普通高等学校招生统一考试理科数学-优题课

设 $z = \frac{10 i}{3 + i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为

- 1 + 3 i

- 1 - 3 i

1 + 3 i

1 - 3 i

设集合 $M = \{x x^{2} - 3 x - 4 < 0\}, N = \{x 0 \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N =$

(0, 4]

[0, 4)

[- 1, 0)

(- 1, 0]

设 $a = \sin 33^{°}, b = \cos 55^{°}, c = \tan 35^{°}$ 则

a > b > c

b > c > a

c > b > a

c > a > b

若向量 $\underset{a}{\to}, \underset{b}{\to}$ 满足： $|\underset{a}{\to}| = 1, (\underset{a}{\to} + \underset{b}{\to}) ⊥ \underset{a}{\to}, (2 \underset{a}{\to} + \underset{b}{\to}) ⊥ \underset{b}{\to}$ ,则 $|\underset{b}{\to}| =$ （）

A．

2

B．

\sqrt{2}

C．

1

D．

\frac{\sqrt{2}}{2}

有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A．

60种

B．

70种

C．

75种

D．

150种

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $△ A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

曲线 $y = x e^{x - 1}$ 在点 $(1, 1)$ 处切线的斜率等于

A．

2 e

B．

e

C．

2

D．

1

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A．

\frac{81 π}{4}

B．

16 π

C．

9 π

D．

\frac{27 π}{4}

已知双曲线 $C$ 的离心率为2，焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $|F_{1} A| = 2 |F_{2} A|$ ，则 $\cos ∠ A F_{2} F_{1} =$ （）

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{2}}{3}

等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 2, a_{5} = 5$ ，则数列 ${l g a_{n}}$ 的前8项和等于

6 5 4 3

已知二面角 $α - l - β$ 为 $60^{°}$ ， $A B \subset α$ ， $A B ⊥ l$ ， $A$ 为垂足， $C D \subset β, C \in l, ∠ A C D = 135^{°}$ ,则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A．

\frac{1}{4}

B．

\frac{\sqrt{2}}{4}

C．

\frac{\sqrt{3}}{4}

D．

\frac{1}{2}

函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x + y = 0$ 对称，则 $y = f (x)$ 的反函数是

y = g (x)

y = g (- x)

y = - g (x)

y = - g (- x)

${(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数为.

设 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + 2 \leq 3 \\ x - 2 y \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 4 y$ 的最大值为.

直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的两条切线，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $(1, 3)$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角的正切值等于 .

若函数 $f (x) = \cos 2 x + a \sin x$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 是减函数，则 $a$ 的取值范围是.

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $3 a \cos C = 2 c c o s A$ ， $\tan A = \frac{1}{3}$ ，求 $B$ .

等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 10, a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在 $A C$ 上， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 1, A C = C C_{1} = 2$ .
（1）证明： $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；
（2）设直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小.

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为 $0.6, 0.5, 0.5, 0.4$ 各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2） $X$ 表示同一工作日需使用设备的人数，求 $X$ 的数学期望.

已知抛物线 $C :$ $x + y - 1 = 0$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，与 $C$ 的交点为 $Q$ ，且 $|Q F| = \frac{5}{4} |F Q|$ .
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $l `$ 与 $C$ 相较于 $M, N$ 两点，且 $A, M, B, N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + a} (a > 1)$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \ln (a_{n} + 1)$ ，证明： $\frac{2}{n + 2} < a_{n} < \frac{3}{n + 2}$ .