全国普通高等学校招生统一考试理科数学-优题课

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{7 + i}{3 + 4 i} =$ ( )

1 - i

- 1 + i

\frac{17}{25} + \frac{31}{25} i

- \frac{17}{7} + \frac{25}{7} i

设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值为

2 3 4 5

阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的 $S$ 的值为

15 105 245 945

函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)$ 的单调递增区间是（）

A．

(0, + \infty)

B．

(- \infty, 0)

C．

(2, + \infty)

D．

(- \infty, - 2)

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线平行于直线 $l : y = 2 x + 10$ ，双曲线的一个焦点在直线 $l$ 上，则双曲线的方程为

\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{20} = 1

\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1

\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{3 y^{2}}{100} = 1

\frac{3 x^{2}}{100} - \frac{3 y^{2}}{25} = 1

如图， $△ A B C$ 是圆的内接三角形， $∠ B A C$ 的平分线交圆于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $B$ 的圆的切线与 $A D$ 的延长线交于点 $F$ ．在上述条件下，给出下列四个结论：
$1 B D 平分 ∠ C B F; 2 F B^{2} = F D \cdot F \cdot A; 3 A E \cdot C E = B E \cdot D E; 4 A F \cdot B D = A B \cdot B F .$ 则所有正确结论的序号是

①② ③④ ①②③ ①②④

设 $a, b \in R$ ，则|" $a > b$ "是" $a |a| > b |b|$ "的

充要不必要条件必要不充分条件充要条件既不充要又不必要条件

已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 120^{°}$ ，点 $E, F$ 分别在边 $B C, D C$ 上， $B E = λ B C$ ， $D F = μ D C$ ．若 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = 1, \vec{C E} \cdot \vec{C F} = - \frac{2}{3}$ ，则 $λ + μ =$ ( )

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{5}{6}

\frac{7}{12}

某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

已知一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ），则该几何体的体积为 $m^{3}$ ．

设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $- 1$ 的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1}$ 的值为．

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ ， $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $\cos A$ 的值为．

在以 $O$ 为极点的极坐标系中，圆 $r = 4 \sin q$ 和直线 $r \sin q = a$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $∆ A O B$ 是等边三角形，则 $a$ 的值为．

已知函数 $f (x) = |x^{2} + 3 x|$ ， $x \in R$ ．若方程 $f (x) - a |x - 1| = 0$ 恰有4个互异的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为．

已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C D, A D ⊥ A B, A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

（1）证明： $B E ⊥ D C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；
（3）若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F \land A C$ ，求二面角 $F F - A B - P$ 的余弦值．

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于1的自然数，设集合 $M = {0, 1, 2, \dots, q - 1}$ ，集合 $A = {x | x = x_{1} + x_{2} q + \dots + x_{n} q_{n} ﹣ 1 ， x_{i} \in M, i = 1, 2, \dots n}$ .

（Ⅰ）当 $q = 2, n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；

（Ⅱ）设 $s, t \in A$ ， $s = a_{1} + a_{2} q + \dots + a_{n} q^{n ﹣ 1}, t = b_{1} + b_{2} q + \dots + b_{n} q^{n ﹣ 1}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in M$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ .证明：若 $a_{n} ＜ b_{n}$ ，则 $s < t$ .

已知函数 $f (x) = x - a e^{x} (a \in R), x \in R$ ．已知函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着 $a$ 的减小而增大；
（3）证明 $x_{1} + x_{2}$ 随着 $a$ 的减小而增大．