全国普通高等学校招生统一考试理科数学-优题课

设全集 $U = \{x \in N x \geq 2\}$ ，集合 $A = \{x \in N ⩾ x^{2} \geq 5\}$ ，则 $C_{U} A =$

\emptyset

\{2\}

\{5\}

\{2, 5\}

已知 $i$ 是虚数单位， $a, b \in R$ ,则" $a = b = 1$ "是" ${(a + b i)}^{2} = 2 i$ "的（）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则此几何体的表面积是（）

A．

90

c m^{2}

B．

129

c m^{2}

C．

132

c m^{2}

D．

138

c m^{2}

为了得到函数 $y = \sin 3 x + \cos 3 x$ 的图像，可以将函数 $y = \sqrt{2} \sin 3 x$ 的图像

向右平移

\frac{π}{4}

个单位向左平移

\frac{π}{4}

个单位向右平移

\frac{π}{12}

个单位向左平移

\frac{π}{12}

个单位

在 $(1 + x)^{6} (1 + y)^{4}$ 的展开式中，记 $x^{m} y^{n}$ 项的系数为 $f (m, n)$ ，则 $f (3, 0) + f (2, 1) + f (1, 2) + f (0, 3) =$ （）

A．

45

B．

60

C．

120

D．

210

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ，且 $0 < f (- 1) = f (- 2) = f (- 3) \leq 3$ ，则

c \leq 3

3 < c \leq 6

6 < c \leq 9

c > 9

在同意直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x \geq 0), g (x) = \log_{a} x$ 的图像可能是

记 $m a x \{x, y\} = \{\begin{cases} x, x \geq y \\ y, x < y \end{cases}$ ， $m i n \{x, y\} = \{\begin{cases} x, x \geq y \\ y, x < y \end{cases}$ ，设 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 为平面向量，则

m i n \{|a + b|, |a - b|\} \leq m i n \{|a|, |b|\}

m i n \{|a + b|, |a - b|\} \geq m i n \{|a|, |b|\}

m i n \{{|a + b|}^{2}, {|a - b|}^{2}\} \geq {|a|}^{2} + {|b|}^{2}

m i n \{{|a + b|}^{2}, {|a - b|}^{2}\} \leq {|a|}^{2} + {|b|}^{2}

已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有 $m$ 个红球和 $n$ 个篮球 $(m \geq 3, n \geq 3)$ . $i (i = 1, 2)$ 个球放入甲盒中.
（a）放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 $ζ_{1} (i = 1, 2)$ ；
（b）放入 $i$ 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 $p_{i} (i = 1, 2)$ .
则

p_{1} > p_{2}

,

E (ζ_{1}) < E (ζ_{2})

p_{1} < p_{2}

,

E (ζ_{1}) > E (ζ_{2})

p_{1} > p_{2}

,

E (ζ_{1}) > E (ζ_{2})

p_{1} < p_{2}

,

E (ζ_{1}) < E (ζ_{2})

设函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ ， $f_{2} (x) = 2 (x - x^{2})$ , $f_{3} (x) = \frac{1}{3} |\sin 2 π x|$ ， $a_{i} = \frac{i}{99}, i = 0, 1, 2, . . ., 99$ ，记 $I_{k} = |f_{k} (a_{1}) - f_{k} (a_{0})| + |f_{k} (a_{2}) - f_{k} (a_{1})| + . . . + |f_{k} (a_{99}) - f_{k} (a_{98})|$ , $k = 1, 2, 3$ 则( )

$I_{1} < I_{2} < I_{3}$

$I_{2} < I_{1} < I_{3}$

$I_{1} < I_{3} < I_{2}$

$I_{3} < I_{2} < I_{1}$

随机变量 $ξ$ 的取值为0,1,2，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}, E (ξ) = 1$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (ξ) =$ .

当实数 $x, y$ 满足 ${\begin{matrix} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ 时， $1 \leq a x + y \leq 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.

设函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x < 0, x^{} < 0 \\ - x^{2}, x \geq 0 \end{cases}$ 若 $f (f (a)) \leq 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

设直线 $x - 3 y + m = 0 (m \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ （）两条渐近线分别交于点A,B，若点P(m,0)满足 $|P A| = |P B|$ ,则该双曲线的离心率是

如图，某人在垂直于水平地面 $A B C$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练.已知点 $A$ 到墙面的距离为 $A B$ ，某目标点 $P$ 沿墙面的射击线 $C M$ 移动，此人为了准确瞄准目标点 $P$ ，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $θ$ 的大小.若 $A B = 15 m, A C = 25 m, ∠ B C M = 30 °$ 则 $\tan θ$ 的最大值

在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $a \neq b, c = \sqrt{3}, \cos^{2} A - \cos^{2} B = \sqrt{3} \sin A \cos A - \sqrt{3} \sin B \cos B$ .

（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $\sin A = \frac{4}{5}$ ，求 $∆ A B C$ 的面积.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} = {(\sqrt{2})}^{b_{n}} (n \in N^{+})$ .若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 2, b_{3} = 6 + b_{2}$

（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}} (n \in N^{+})$ 。记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
（i）求 $S_{n}$ ；
（ii）求正整数 $k$ ，使得对任意 $n \in N^{+}$ ，均有 $S_{K} \geq S_{n}$ ．

如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ $平面 B C D E$ , $∠ C D E = ∠ B E D = 90 °$ , $A B = C D = 2$ , $D E = B E = 1$ . $A C = \sqrt{2}$ .

（1）证明： $D E ⊥ 平面 A C D$ ;
（2）求二面角 $B - A D - E$ 的大小

如图，设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$ ，且点 $P$ 在第一象限.
（１）已知直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，用 $a, b, k$ 表示点 $P$ 的坐标；
（２）若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，证明：点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $a - b$ .

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 |x - a| (a \in R)$ 若 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值和最小值分别记为 $M (a), m (a)$ ，

(1)求 $M (a) - m (a)$ ；
(2)设 $b \in R$ 若 ${[f (x) + b]}^{2} \leq 4$ 对 $x \in [- 1, 1]$ 恒成立，求 $3 a + b$ 取值范围.