全国普通高等学校招生统一考试文科数学-优题课

设集合 $S = \{x x \geq 2\}$ ， $T = \{x x \leq 5\}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A．

(- \infty, 5]

B．

[2, + \infty)

C．

(2, 5)

D．

[2, 5]

设四边形 $A B C D$ 的两条对角线为 $A C$ 、 $B D$ ，则"四边形 $A B C D$ 为菱形"是" $A C ⊥ B D$ "的

充分不必要条件必要不成分条件充要条件既不充分也不必要条件

某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积是（）

72 c m^{3}

90 c m^{3}

108 c m^{3}

138 c m^{3}

为了得到函数 $y = \sin 3 x + \cos 3 x$ 的图象，可以将函数 $y = \sqrt{2} \cos 3 x$ 的图象（）

A．	向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长	B．	向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长
C．	向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长	D．	向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长

已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + a = 0$ 截直线 $x + y + 2 = 0$ 所得弦的长度为4，则实数 $a$ 的值为（）

A．

- 2

B．

- 4

C．

- 6

D．

- 8

设 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则（）

A．	若 $m ⊥ n$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ⊥ α$
B．	若 $m ∥ β$ ， $β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$
C．	若 $m ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$
D．	若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ， $β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ,且 $0 < f (- 1) = f (- 2) = f (- 3) \leq 3$ ,则（）

A．

c \leq 3

B．

3 < c \leq 6

C．

6 < c \leq 9

D．

c > 9

在同一坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x > 0)$ ， $g (x) \log_{a} x$ 的图象可能是

设 $θ$ 为两个非零向量 $a, b$ 的夹角，已知对任意实数 $t$ ， $|b + a t|$ 的最小值为1（）

若

θ

确定，则

|a|

唯一确定若

θ

确定，则

|b|

唯一确定若

|a|

确定，则

θ

唯一确定若

|b|

确定，则

θ

唯一确定

如图，某人在垂直于水平地面 $A B C$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练，已知点 $A$ 到墙面的距离为 $A B$ ，某目标点 $P$ 沿墙面上的射线 $C M$ 移动，此人为了准确瞄准目标点 $P$ ，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $θ$ 的大小（仰角 $θ$ 为直线 $A P$ 与平面 $A B C$ 所成的角），若 $A B = 15 m$ ， $A C = 25 m$ ， $∠ B C M = 30^{°}$ ，则 $\tan θ$ 的最大值是（）

\frac{\sqrt{30}}{5}

\frac{\sqrt{30}}{10}

\frac{4 \sqrt{3}}{9}

\frac{5 \sqrt{3}}{9}

设已知 $i$ 是虚数单位，计算 $\frac{1 - i}{(1 + i)^{2}} =$ .

若想x,y满足和 $\{\begin{cases} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{cases} (x \geq 1)$ ，则 $x + y$ 的取值范围是.

若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是.

在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为.

设函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ - x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (f (a)) = 2$ ，则 $a =$ .

已知实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ,则 $a$ 的最大值为为.

设直线 $x - 3 y + m = 0 (m \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $A$ 、 $B$ ，若 $P (m, 0)$ 满足 $|P A| = |P B|$ ，则双曲线的离心率是.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ ，所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $4 \sin^{2} \frac{A - B}{2} + 4 \sin A \sin B = 2 + \sqrt{2}$

（1）求角 $C$ 的大小；
（2）已知 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为6，求边长 $c$ 的值.

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，设 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{2} \cdot S_{3} = 36$

（1）求 $d$ 及 $S_{n}$ ；
（2）求 $m, k$ $(m, k \in N^{*})$ 的值，使得 $a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{m + k} = 65$ .

如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D E$ ； $∠ C D E = ∠ B E D = 90^{°}$ ， $A B = C D = 2, D E = B E = 1, A C = \sqrt{2}$ .
（1）证明： $A C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；
（2）求直线 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成的角的正切值.

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 |x - a| (a > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最小值记为 $g (a)$ .
（1）求 $g (a)$ ；
（2）证明：当 $x \in [- 1, 1]$ 时，恒有 $f (x) \leq g (a) + 4$ .

已知 $∆ A B P$ 的三个顶点在抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上， $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $M$ 为 $A B$ 的中点， $\overset{⇀}{P F} = 3 \overset{⇀}{F M}$ ；
（1）若 $|P F| = 3$ ，求点 $M$ 的坐标；
（2）求 $∆ A B P$ 面积的最大值.