全国普通高等学校招生统一考试理科数学-优题课

函数 $y = 1 - 2 \cos^{2} (2 x)$ 的最小正周期是.

若复数 $z = 1 + 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $(z + \frac{1}{\bar{z}}) \cdot \bar{z} =$ .

若抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.

设 $f (x) = {\begin{matrix} x, x \in (- \infty, a) \\ x^{2}, x \in [a, + \infty) \end{matrix}$ 若 $f (2) = 4$ ，则 $a$ 的取值范围为.

若实数 $x, y$ 满足 $x y = 1$ ,则 $x^{2} + 2 y^{2}$ 的最小值为.

若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

已知曲线 $C$ 极坐标方程为 $p (3 \cos θ - 4 \sin θ) = 1$ ，则 $C$ 极轴的交点到极点的距离是.

设无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1} = \underset{n \to \infty}{l i m (a_{3} + a_{4} + \dots)}$ ，则 $q$ =.

若 $f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}$ ，则满足 $f (x) < 0$ 的 $x$ 取值范围是.

为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.

已知互异的复数 $a, b$ 满足 $a b \neq 0$ ，集合 $\{a, b\} = \{a^{2}, b^{2}\}$ 则 $a + b$ =

设常数 $a$ 使方程 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = a$ 在闭区间 $[0, 2 π]$ 上恰有三个解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ =.

某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量 $ξ$ 表示小白玩游戏的得分.若 $E (ξ)$ =4.2，则小白得5分的概率至少为.

已知曲线 $C : x = - \sqrt{4 - y^{2}}$ ，直线 $l : x = 6$ .若对于点 $A (m, 0)$ ,存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的点 $Q$ 使得 $\overset{⇀}{A P} + \overset{⇀}{A Q} = \overset{⇀}{0}$ ，则 $m$ 的取值范围为.

设 $a, b \in R$ ,则" $a + b > 4$ "是" $a > 2$ 且 $b > 2$ "的（）

A．	充分条件	B．	必要条件
C．	充分必要条件	D．	既非充分又非必要条件

如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， $A B$ 是一条侧棱， $P_{i} (i = 1, 2 . . .)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P_{i}} (i = 1, 2 . . .)$ 的不同值的个数为（）

A．

1

B．

2

C．

4

D．

8

已知 $P_{1} (a_{1}, b_{1})$ 与 $P_{2} (a_{2}, b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1 (k 为常数)$ 上两个不同的点，则关于 $x 和 y$ 的方程组 $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = 1 \\ a_{2} x + b_{2} y = 1 \end{cases}$ 的解的情况是（）

无论

k

，

P_{1}, P_{2}

如何，总是无解无论

k

，

P_{1}, P_{2}

如何，总有唯一解存在

k

，

P_{1}, P_{2}

，使之恰有两解存在

k

，

P_{1}, P_{2}

，使之有无穷多解

$f (x) = {\begin{matrix} (x - a)^{2}, x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a, x > 0 \end{matrix}$ 若 $f (0)$ 是 $f (x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围为（）.

A．

[-1,2]

B．

[-1，0]

C．

[1，2]

D．

[0,2]

底面边长为2的正三棱锥 $P - A B C$ ,其表面展开图是三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ ，如图，求 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$ .

设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ .
（1）若 $a = 4$ ，求函数 $y = f (x)$ 的反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ；
（2）根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

如图,某公司要在 $A$ 、 $B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ,其中 $D$ 为顶端, $A C$ 长35米, $C B$ 长80米,设 $A$ 、 $B$ 在同一水平面上,从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $α 和 β$ .

（1）设计中 $C D$ 是铅垂方向,若要求 $α \geq 2 β$ ,问 $C D$ 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后 $C D$ 与铅垂方向有偏差，现在实测得 $α = 38 . 12^{°}, β = 18 . 45^{°}$ ,求 $C D$ 的长（结果精确到0.01米）？

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 记 $η = (a x_{1} + b y_{1} + c) (a x_{2} + b y_{2} + c)$ 若 $η < 0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.
(1)求证：点 $A (1, 2), B (- 1, 0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔；

(2)若直线 $y = k x$ 是曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；
(3)动点 $M$ 到点 $Q (0, 2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为1，设点 $M$ 的轨迹为 $E$ ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线.

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 等比数列， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ ， $\frac{1}{3} S_{n} \leq S_{n + 1} \leq 3 S_{n}, n \in N^{+}$ 求 $q$ 的取值范围；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 成等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时相应数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 的公差.