全国普通高等学校招生统一考试文科数学-优题课

函数 $y = 1 - 2 \cos^{2} (2 x)$ 的最小正周期是.

若复数 $z = 1 + 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $(z + \frac{1}{z}) \cdot z =$ .

设常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = | x - 1 | + | x^{2} - a |$ ，若 $f (2) = 1$ ，则 $f (1) =$ .

若抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.

某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.

若实数 $x, y$ 满足 $x y = 1$ ,则 $x^{2} + 2 y^{2}$ 的最小值为.

若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.

设 $f (x) = \{\begin{cases} - x + a, x \leq 0, \\ x + \frac{1}{x}, x > 0, \end{cases}$ 若 $f (0)$ 是 $f (x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围是.

设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1} = \underset{n \to \infty}{l i m} (a_{3} + a_{4} + . . .)$ ，则 $q =$ .

若 $f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}$ ,则满足 $f (x) < 0$ 的 $x$ 取值范围是.

方程在区间上的所有解的和等于　　　　　.

为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示).

已知曲线 $C : x = - \sqrt{4 - y^{2}}$ ，直线 $l : x = 6$ .若对于点 $A (m, 0)$ ,存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的点 $Q$ 使得 $\vec{A P} + \vec{A Q} = \vec{0}$ ，则 $m$ 的取值范围为.

设 $a, b \in R$ ,则" $a + b > 4$ "是" $a > 2 且 b > 2$ "的（）

A．	充分条件	B．	必要条件
C．	充分必要条件	D．	既非充分又非必要条件

已知互异的复数 $a, b$ 满足 $a b \neq 0$ ，集合 ${a, b} = {a^{2}, b^{2}}$ }],则 $a + b$ =　　（　　　　）

A．

2

B．

1

C．

0

D．

-1

如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形, $A B$ 是在正方形的一条边, $P_{i} (i = 1, 2, \dots, 7)$ 是小正方形的其余各个顶点,则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A P} (i = 1, 2, \dots, 7)$ 的不同值的个数为（）

A．

7

B．

5

C．

3

D．

1

已知 $P_{1} (a_{1}, b_{1})$ 与 $P_{2} (a_{2}, b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1$ （ $k$ 为常数）上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = 1 \\ a_{2} x + b_{2} y = 1 \end{matrix}$ 的解的情况是（）

A．	无论 $k$ ， $P_{1}, P_{2}$ 如何，总是无解	B．	无论 $k$ ， $P_{1}, P_{2}$ 如何，总有唯一解
C．	存在 $k$ ， $P_{1}, P_{2}$ ，使之恰有两解	D．	存在 $k$ ， $P_{1}, P_{2}$ ，使之有无穷多解

底面边长为2的正三棱锥 $P - A B C$ ,其表面展开图是三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ ，如图，求△ $P_{1} P_{2} P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$ .

设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ 若 $a$ =4，求函数 $y = f (x)$ 的反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ；
根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

如图,某公司要在 $A 、 B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ,其中 $D$ 为顶端, $A C$ 长35米, $C B$ 长80米,设 $A 、 B$ 在同一水平面上,从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $α$ 和 $β$ .

（1）设计中 $C D$ 是铅垂方向,若要求 $α \geq 2 β$ ,问 $C D$ 的长至多为多少(结果精确到0.01米)？
（2）施工完成后, $C D$ 与铅垂方向有偏差,现在实测得 $α = 38 . 12^{°}, β = 18 . 45^{°}$ ,求 $C D$ 的长(结果精确到0.01米)？

在平面直角坐标系 $x o y$ 中，对于直线： $a x + b y + c = 0$ 和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线 $C$ 的一条分隔线.
⑴求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点 $M$ 到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为 $E$ ，求的方程，并证明轴为曲线的分割线.

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{m} = \frac{1}{1000}$ ，正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 ${a_{n}}$ 的仅比；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{100}$ 成等差数列，求数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{100}$ 的公差的取值范围.