全国普通高等学校招生统一考试文科数学-优题课

已知集合 $M = \{x | - 1 < x < 3\}, N = \{x | - 2 < x < 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A．

(- 2, 1)

B．

(- 1, 1)

C．

(1, 3)

D．

(- 2, 3)

若 $\tan α > 0$ ，则（）

A．

\sin α > 0

B．

\cos α > 0

C．

\sin 2 α > 0

D．

\cos 2 α > 0

设 $z = \frac{1}{1 + i} + i$ ，则 $|z| =$ （）

A．

\frac{1}{2}

B．

\frac{\sqrt{2}}{2}

C．

\frac{\sqrt{3}}{2}

D．

2

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的离心率为2，则 $a =$

2

\frac{\sqrt{6}}{2}

\frac{\sqrt{5}}{2}

1

设函数 $f (x), g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，则下列结论中正确的是（）

A．	$f (x) g (x)$ 是偶函数	B．	$\|f (x)\| g (x)$ 是奇函数
C．	$f (x) \|g (x)\|$ 是奇函数	D．	$\|f (x) g (x)\|$ 是奇函数

设 $D, E, F$ 分别为 $△ A B C$ 的三边 $B C, C A, A B$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} + \overset{⇀}{F C}$ =

A．

\overset{⇀}{A D}

B．

\frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}

C．

\frac{1}{2} \overset{⇀}{B C}

D．

\overset{⇀}{B C}

在函数① $y = \cos |2 x|$ ，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为

①②③ ①③④ ②④ ①③

如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

三棱锥三棱柱四棱锥四棱柱

执行右面的程序框图，若输入的 $a, b, k$ 分别为1,2,3，则输出的 $M =$ （）

A．

\frac{20}{3}

B．

\frac{7}{2}

C．

\frac{16}{5}

D．

\frac{15}{8}

已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = x$ 的焦点为 $F$ , $A (x_{0}, y_{0})$ 是 $C$ 上一点， $|A F| = \frac{5}{4} x_{0}$ ，则 $x_{0} =$ （）

A．

1

B．

2

C．

4

D．

8

设 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{cases} x + y \geq a \\ x - y \leq - 1 \end{cases}$ 且 $z = x + a y$ 的最小值为7，则 $a =$ .

A．

-5

B．

3

C．

-5或3

D．

5或-3

已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x + 1$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A．

(2, + \infty)

B．

(1, + \infty)

C．

(- \infty, - 2)

D．

(- \infty, - 1)

将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为.

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 $B$ 城市；
乙说：我没去过 $C$ 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为.

设函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x - 1}, x < 1 \\ x^{\frac{1}{3}}, x \geq 1 \end{matrix}$ 则使得 $f (x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

如图，为测量山高 $M N$ ，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点.从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 60 °$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45 °$ 以及 $∠ M A C = 75 °$ ；从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60 °$ .已知山高 $B C = 100 m$ ，则山高 $M N =$ $m$ .

已知 $\{a_{n}\}$ 是递增的等差数列， $a_{2}$ , $a_{4}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根。
（I）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和.

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组	[75，85)	[85，95)	[95，105)	[105，115)	[115，125)
频数	6	26	38	22	8

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%"的规定？

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $B_{1} C$ 的中点为 $O$ ，且 $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

（1）证明： $B_{1} C ⊥ A B$

（2）若 $A C ⊥ A B_{1}$ , $∠ C B B_{1} = 60^{°}, B C = 1$ 求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高.

已知点 $P (2, 2)$ ,圆 $C$ : $x^{2} + y^{2} - 8 y = 0$ ,过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点,线段 $A B$ 的中点为 $M$ , $O$ 为坐标原点.
(1)求 $M$ 的轨迹方程
(2)当 $|O P| = |O M|$ 时,求 $l$ 的方程及 $∆ P O M$ 的面积

设函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1 - a}{2} x^{2} - b x (a \neq 1)$ ，曲线 $y = f (x) 在点 (1, f (1))$ 处的切线斜率为0
求 $b$ ;若存在 $x_{0} \geq 1$ 使得 $f (x_{0}) < \frac{a}{a - 1}$ ，求 $a$ 的取值范围。

如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.

（I）证明：；
（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.

已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，直线 $l : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 - t \end{cases}$ （t为参数）
（1）写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；

（2）过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为30°的直线，交 $l$ 于点A，求 $|P A|$ 的最大值与最小值.

若 $a > 0, b > 0$ 且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{a b}$ .

（I）求 $a^{3} + b^{3}$ 的最小值；
（II）是否存在 $a, b$ ，使得 $2 a + 3 b = 6$ ？并说明理由.