在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD-优题课

题文

在直四棱柱A₁B₁C₁D₁—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A₁C⊥B₁D₁（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）．

科目数学题型填空题难度较难

知识点：空间向量的应用

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设 $e_{1}, e_{2}$ 为单位向量。且 $e_{1}, e_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $a = e_{1} + 3 e_{2}, b = 2 e_{1}$ ，则向量 $a$ 在 $b$ 方向上的射影为.

函数 $y = \sin 2 x + 2 \sqrt{3} \sin^{2} x$ 的最小正周期 $T$ 为.

在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = a \cos Φ \\ y = b \sin Φ \end{cases} (Φ 为参数, a > b > 0)$ ．在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标方程分别为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} m$ （ $m$ 为非零常数）与 $ρ = b$ ．若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆 $C$ 的离心率为

如图，圆 $O$ 上一点 $C$ 在直径 $A B$ 上的射影为 $D$ ，点 $D$ 在半径 $O C$ 上的射影为 $E$ ．若 $A B = 3 A D$ ，则 $\frac{C E}{E O}$ 的值为．

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1, 3, 6, 10 . . .$ ，第 $n$ 个三角形数为 $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ．记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N (n, k)$ $(k \geq 3)$ ，以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：
三角形数 $N (n, 3) = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，
正方形数 $N (n, 4) = n^{2}$ ，
五边形数 $N (n, 5) = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n$ ，
六边形数 $N (n, 6) = 2 n^{2} - n$ ，
…
可以推测 $N (n, k)$ 的表达式，由此计算 $N (10, 24) =$ ．

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