是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是？若存在，求出对应-优题课

如图，从点 $P_{1} (0, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q_{1} (0, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1} ， Q_{1} ； P_{2} ， Q_{2} ； \dots ； P_{n} ， Q_{n}$ ,记 $P_{k}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0)$ $(k = 1, 2, \dots, n ）$ .

（Ⅰ）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系（ $2 \leq k \leq n$ ）
（Ⅱ）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + . . . + |P_{n} Q_{n}|$

如图，设 $P$ 是圆珠笔 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D| = \frac{4}{5} |P D|$
（Ⅰ）当 $P$ 的在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

叙述并证明余弦定理

（本小题满分14分）数列定义如下：，,．
（1）求的值；
（2）求的通项；
（3）若数列定义为：，
①证明：；②证明：．

（本小题满分14分）已知函数．
（1）求的导数；
（2）求证：不等式上恒成立；
（3）求的最大值．