已知函数
与函数
的图像关于直线
对称．
（1）试用含
的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；
（2）数列
中，
，当
时，
．数列
中，
，
．点
在函数的图像上，求的值；
（3）在（2）的条件下，过点
作倾斜角为
的直线
，则在ｙ轴上的截距为
，求数列的通项公式．
如图，某污水处理厂要在一个矩形
的池底水平铺设污水净化管道（直角
，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是
的中点，
分别落在
上，且
，设
．
（1）试将污水管道的长度
表示成
的函数，并写出定义域；
（2）当管道长度为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．
如图，已知正四棱柱
中，底面边长
，侧棱
的长为4，过点
作
的垂线交侧棱
于点
，交于点
．
（1）求证：
⊥平面
；
（2）求
与平面所成角的正弦值．
已知函数
．
（1）求函数
的零点，并求反函数
；
（2）设
，若不等式
在区间
上恒成立，求实数
的范围．
（本小题满分10分）（选修4—5：不等式选讲）
（Ⅰ）证明柯西不等式：
；
（Ⅱ）若
且
，用柯西不等式求
+
的最大值．
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线
与C的交点为
，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段
的中点且与
垂直的直线的极坐标方程．