设函数f(x)＝x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R．（1）-优题课

题文

设函数f(x)＝ x³－mx²＋(m²－4)x，x∈R．
（1）当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的
x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1) 恒成立，求实数m的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

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如图，曲线 $G$ 的方程为 $y^{2} = 2 x (y \geq 0)$ .以原点为圆心，以 $t (t > 0)$ 为半径的圆分别与曲线 $G$ 和 $y$ 轴的正半轴相交于点 $A$ 与点 $B$ .直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ .

（Ⅰ）求点 $A$ 的横坐标 $a$ 与点 $C$ 的横坐标 $c$ 的关系式；
（Ⅱ）设曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $a + 2$ ，求证：直线 $C D$ 的斜率为定值.

设 $a \geq 0, f (x) = x - 1 - \ln^{2} x + 2 a \ln x (x > 0)$ .

（Ⅰ）令 $F (x) = x f^{`} (x)$ ,讨论 $F (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证:当 $x > 1$ 时,恒有 $x > \ln^{2} x - 2 a \ln x + 1$ .

如图，在六面体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为1的正方形， $D D_{1} ⊥ 平面 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $D D_{1} ⊥ 平面 A B C D$ ， $D D_{1} ＝ 2$ .

（Ⅰ）求证： $A_{1} C_{1} 与 A C$ 共面， $B_{1} D_{1} 与 B D$ 共面；
（Ⅱ）求证： $平面 A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B D D_{1}$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A － B B_{1} － C$ 的大小（用反三角函数值表示）.

已知0＜a＜的最小正周期， $向量 a = （ \tan （ α + β / 4 ）， - 1), 向量 b = （ \cos α ， 2 ），且向量 a \times 向量 b = m ，$ 求 $\frac{2 \cos^{2} α + \sin 2 (α + β)}{\cos α - \sin α}$ .

已知函数 $f (x) = x^{2 t} - 2 t (x^{2} + x) + x^{2} + 2 t^{2} + 1$ ， $g (x) = \frac{1}{2} f (x)$ ．
（I）证明：当 $t < 2 \sqrt{2}$ 时， $g (x)$ 在 $R$ 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 $[a, b]$ ，试说明存在实数 $k$ ，当 $t > k$ 时， $g (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数；
（III）证明： $f (x) \geq \frac{3}{2}$ ．

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