若，则时,有最小值，最小值为.-优题课

设等差数列的最大值为。

一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 .

设曲线 $y = x^{n - 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ,令 $a_{n} = l g x_{n}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{99}$ 的值为.

如图，球 $O$ 的半径为2，圆 $O_{1}$ 是一小圆， $O_{1} O = \sqrt{2}$ ， $A, B$ 是圆 $O_{1}$ 上两点．若 $A, B$ 两点间的球面距离为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $∠ A O_{1} B =$ .

设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f : V \to V, a \in V$ ，记 $a$ 的象为 $f (a)$ .若映射 $f : V \to V$ 满足：对所有 $a$ 、 $b \in V$ 及任意实数 $λ, μ$ 都有 $f (λ a + μ b) = λ f (a) + μ f (b)$ ，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换。现有下列命题：
①设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换， $a$ 、 $b \in V$ ，则 $f (a + b) = f (a) + f (b)$

②若 $e$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $a \in V$ ,设 $f (a) = a + e$ ,则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③对 $a \in V$ ,设 $f (a) = - a$ ,则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换， $a \in V$ ，则对任意实数 $k$ 均有 $f (k a) = k f (a)$ .
其中的真命题是（写出所有真命题的编号）