设数列{an}的首项a11，前n项和Sn满足关系式:3tSn-优题课

题文

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式:3tS_n－(2t+3)S_n_－₁=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求证: 数列{a_n}是等比数列；
(2)设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n}，使b₁=1,b_n=f()(n=2,3,4…)，求数列{b_n}的通项b_n；
(3)求和: b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n_－₁b_2n－b_2nb_2n+1.

科目数学题型解答题难度中等

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选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 1 + 3 \cos t \\ y = - 2 + 3 \sin t \end{cases} (t 为参数)$ .在极坐标系（与平面直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴）中，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2} r \sin (q - \frac{p}{4}) = m (m \in R)$ .

（Ⅰ）求圆 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离等于2，求 $m$ 的值．

已知矩阵 $A = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ （Ⅰ）求 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ ；
（Ⅱ）求矩阵 $C$ ，使得 $A C = B$ .

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x)$ ， $g (x) = k x, (k \in R)$

（Ⅰ）证明：当 $x > 0 时， f (x) < x$ ；
（Ⅱ）证明：当 $k < 1$ 时，存在 $x_{0} > 0$ ,使得对 $任意 x \in (0, t), 恒有 f (x) > g (x)$
（Ⅲ）确定 $k$ 的所以可能取值，使得存在 $t > 0$ ，对任意的 $x \in (0, t)$ 恒有 $|(f (x) - g (x))| < x^{2}$ ．

已知函数 $f (x)$ 的图像是由函数 $g (x) = \cos x$ 的图像经如下变换得到:先将 $g (x)$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移 $\frac{p}{2}$ 个单位长度.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式,并求其图像的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = m$ 在 $[0, 2 p)$ 内有两个不同的解 $a, b$ ．
（1）求实数 $m$ 的取值范围；
（2）证明： $\cos (a - b) \frac{2 m^{2}}{5} - 1$

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > o)$ 过点 $(0, \sqrt{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $x = m y - 1, (m ? R)$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，判断点 $G (- \frac{9}{4}, 0)$ 与以线段 $A B$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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