移动公司进行促销活动，促销方案是：顾客消费1000元，便可获-优题课

移动公司进行促销活动，促销方案是：顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为20%，中奖后移动公司返还顾客现金1000元。小李购买一部价格为2400元的手机，只能获得两张奖券，于是小李补偿50元给同事购买600元的小灵通，可以获得3张奖券，记小李抽奖后的实际开支为元。
（1）求的分布列；
（2）试说明小李出资50元便增加一张奖券是否划算？

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = x c^{- x} (x \in R)$ .

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 $y = g (x)$ 的图象与函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，证明当 $x > 1$ 时， $f (x) > g (x)$

（Ⅲ）如果 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明 $x_{1} + x_{2} > 2$

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A, B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a, 0)$ ，点 $Q (0, y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\underset{Q A}{\to} . \underset{Q B}{\to} = 4$ ，求 $y_{0}$ 的值

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 上的点， $C F = A B = 2 C E, A B : A D : A A_{1} = 1 : 2 : 4$ .

（1）求异面直线 $E F$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值；
（2）证明 $A F ⊥$ 平面 $A_{1} E D$ ;

（3）求二面角 $A_{1} - E D - F$ 的正弦值.

某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记 $ξ$ 为射手射击3次后的总的分数，求 $ξ$ 的分布列。

已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 $f (x_{2}) = \frac{6}{5}, x_{0} \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值。

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