根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.一个直角梯-优题课

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根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.

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设 $a \in [- 2, 0]$ , 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} - (a + 5) x, & x \leq 0, \\ x^{3} - \frac{a + 3}{2} x^{2} + a x, & x > 0 . \end{cases}$  
(Ⅰ) 证明 $f (x)$ 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线 $y = f (x)$ 在点 $P_{i} (x_{i}, f (x_{i})) (i = 1, 2, 3)$ 处的切线相互平行, 且 $x_{1} x_{2} x_{3} \neq 0$ ,证明 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > - \frac{1}{3}$ .

已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{+})$ , 且 $- 2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;
(Ⅱ) 证明 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6} (n \in N^{+})$ .

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ , 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 $A, B$ 分别为椭圆的左右顶点, 过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C, D$ 两点. 若 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{D B} + \overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{C B} = 8$ , 求 $k$ 的值.

如图, 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ,且各棱长均相等. $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点.

(Ⅰ) 证明 $E F / /$ 平面 $A_{1} C D$ ;
(Ⅱ) 证明平面 $A_{1} C D$ ⊥平面 $A_{1} A B B_{1}$ ;
(Ⅲ) 求直线 $B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

在 $△ A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ . 已知 $b \sin A = 3 c \sin B$ , $a = 3, \cos B = \frac{2}{3}$ .
(Ⅰ) 求 $b$ 的值;
(Ⅱ) 求 $\sin (2 B - \frac{π}{3})$ 的值.

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