如图所示，水平放置的正三角形ABC，在它的正上方有光源S．请-优题课

如图所示，水平放置的正三角形ABC，在它的正上方有光源S．请探究如下问题.

(1)应怎样画出它在地面上的投影？它的投影是一个什么样的三角形？
(2)若光源S慢慢远离正三角形ABC时，它在地面上的投影有何变化？
(3)当光源S趋近于无限远时，正三角形ABC和它在地面上的投影有何关系？
(4)你从中能领悟出中心投影与平行投影之间有何关系？

科目数学题型解答题难度容易

知识点：立体图形的直观图

在三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁中， AB⊥ AC， B ₁ C⊥平面 ABC， E， F分别是 AC， B ₁ C的中点．

（1）求证： EF∥平面 AB ₁ C ₁；

（2）求证：平面 AB ₁ C⊥平面 ABB ₁．

已知函数 $f (x) = x^{3} + k \ln x (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

（Ⅰ）当 $k = 6$ 时，

（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（ii）求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) + \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k ⩾ - 3$ 时，求证：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ．

已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{matrix} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{matrix}$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和．

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, - 3)$ ，右焦点为 $F$ ，且 $| OA | = | OF |$ ，其中 $O$ 为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点 $C$ 满足 $3 \vec{OC} = \vec{OF}$ ，点 $B$ 在椭圆上（ $B$ 异于椭圆的顶点），直线 $AB$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，且 $P$ 为线段 $AB$ 的中点．求直线 $AB$ 的方程．

如图，在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $AD = 1 CE = 2, M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $AB$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

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