小明到他父亲的木工房,看到一个棱长为50cm的立方体工件(如-优题课

已知抛物线 $C : y^{2} = 2 px (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{PQ} = 9 \vec{QF}$ ，求直线 $OQ$ 斜率的最大值.

设 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ．已知 $a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $9 a_{3}$ 成等差数列．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和．证明： $T_{n} < \frac{S_{n}}{2}$ ．

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面是矩形， $PD ⊥$ 底面 $ABCD$ ，M为 $BC$ 的中点，且 $PB ⊥ AM$ ．

（1）证明：平面 $PAM ⊥$ 平面 $PBD$ ；

（2）若 $PD = DC = 1$ ，求四棱锥 $P - ABCD$ 的体积．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ．

（1）求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ， $S_{1}^{2}$ ， $S_{2}^{2}$ ；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y} - \bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

已知函数 $\frac{|OB|}{|OA|} = \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{1}{4} \times 2 sin α (\sqrt{3} cos α + sin α) = \frac{1}{4} [2sin (2 α - \frac{π}{6}) + 1]$ ．

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集;

（2）若 $f (x) > - a$ ，求 a的取值范围．