本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知椭圆:
(
),其焦距为
,若
(
),则称椭圆
为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆:
(
)中,
、
、
成等比数列.
(2)黄金椭圆:
(
)的右焦点为
,
为椭圆
上的
任意一点.是否存在过点、
的直线
,使
与
轴的交点
满足
?若存在,求直线
的斜率
;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆:
(
)的左、右
焦点分别是、
,以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、
.
试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,直线为圆的切线,切点为
,点
在圆上,
的角平分线
交圆于点
,
垂直
交圆于点
.
(1)证明:;
(2)设圆的半径为1,,延长
交
于点
,求
外接圆的半径.
已知函数,
的图像在点
处的切线为
.(
).
(1)求函数的解析式;
(2)若对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
如图,椭圆:
的右焦点为
,右顶点、上顶点分别为点
、
,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若斜率为2的直线过点
,且
交椭圆
于
、
两点,
.求直线
的方程及椭圆
的方程.
为选拔选手参加“中国汉字听写大会”,某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照
,
,
,
,
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
,
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
、
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”,求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率.
如图,设四棱锥的底面为菱形,且∠
,
,
。
(1)求证:平面平面
;
(2)设为
的中点,求三棱锥
的体积.