如图，F为双曲线C：x2a2y2b21a<0,b<0的右焦点-优题课

题文

如图， $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点。 $P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方， $M$ 为左准线上一点， $O$ 为坐标原点。已知四边形 $O F P M$ 为平行四边形， $|P F| = λ |O F|$ .

（Ⅰ）写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $λ$ 的关系式；
（Ⅱ）当 $λ = 1$ 时，经过焦点 $F$ 且品行于 $O P$ 的直线交双曲线于 $A$ 、 $B$ 点，若 $|A B| = 12$ ，求此时的双曲线方程.

科目数学题型解答题难度中等

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如图， $P C B M$ 是直角梯形， $∠ P C B = 90^{°}$ ， $P M$ $∥$ $B C$ ， $P M = 1$ ， $B C = 2$ ，又 $A C = 1$ ， $∠ A C B = 120^{°}$ ， $A B ⊥ P C$ ，直线 $A M$ 与直线 $P C$ 所成的角为 $60^{°}$ .

（Ⅰ）求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ;
（Ⅱ）求二面角 $M - A C - B$ 的大小;
（Ⅲ）求三棱锥 $P - M A C$ 的体积.

已知 $\cos α = \frac{1}{7}$ , $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ ，且 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ .

(Ⅰ)求 $\tan 2 a$ 的值.
（Ⅱ）求 $β$ .

已知抛物线 $y = x^{2}$ 和三个点 $M (x_{0}, y_{0}), P (0, y_{0}), N (- x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq {x_{0}}^{2}, y_{0} > 0)$ ，过点 $M$ 的一条直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点， $A P$ 、 $B P$ 的延长线分别交曲线 $C$ 于 $E$ 、 $F$ ．

（1）证明 $E 、 F 、 N$ 三点共线；
（2）如果 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 四点共线，问：是否存在 $y_{0}$ ，使以线段 $A B$ 为直径的圆与抛物线有异于 $A$ 、 $B$ 的交点？如果存在，求出 $y_{0}$ 的取值范围，并求出该交点到直线 $A B$ 的距离；若不存在，请说明理由．

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