已知正三棱锥的侧棱长为，三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥外-优题课

设双曲线 $C$ 的两个焦点为 $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ ，一个顶点式 $(1, 0)$ ，则 $C$ 的方程为.

若 $(x + i) i = - 1 + 2 i (x \in R)$ ，则 $x =$ .

若直线 $l$ 与曲线 $C$ 满足下列两个条件：
(i)直线 $l$ 在点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处与曲线 $C$ 相切；(ii)曲线 $C$ 在 $P$ 附近位于直线 $l$ 的两侧，则称直线 $l$ 在点 $P$ 处"切过"曲线 $C$ .

下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)
①直线 $l : y = 0$ 在点 $P (0, 0)$ 处"切过"曲线 $C$ ： $y = x^{3}$

②直线 $l : x = - 1$ 在点 $P (- 1, 0)$ 处"切过"曲线 $C$ ： $y = (x + 1)^{2}$

③直线 $l : y = x$ 在点 $P (0, 0)$ 处"切过"曲线 $C$ ： $y = \sin x$

④直线 $l : y = x$ 在点 $P (0, 0)$ 处"切过"曲线 $C$ ： $y = \tan x$

⑤直线 $l : y = x - 1$ 在点 $P (1, 0)$ 处"切过"曲线 $C$ ： $y = \ln x$

不等式组 $\{\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x + 3 y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域的面积为.

如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中，斜边 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，过点 $A$ 作 $B C$ 的垂线，垂足为 $A_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作 $A C$ 的垂线，垂足为 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{1} C$ 的垂线，垂足为 $A_{3}$ ；…，以此类推，设 $B A = a_{1}$ ， $A A_{1} = a_{2}$ ， $A_{1} A_{2} = a_{3}$ ，…， $A_{5} A_{6} = a_{7}$ ，则 $a_{7}$ =.