(本小题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据;若将频率视为概率,对甲学生在培训后参加的一次数学竞赛成绩进行预测,求甲的成绩高于80分的概率;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
标准差公式:.
(本小题满分12分)为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(2)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
组别 |
候车时间 |
人数 |
一 |
![]() |
2 |
二 |
![]() |
6 |
三 |
![]() |
4 |
四 |
![]() |
2 |
五 |
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1 |
(本小题满分12分)已知函数,
的最大值是1,最小正周期是
,其图像经过点
.
(1)求的解析式;
(2)设、
、
为△ABC的三个内角,且
,
,求
的值.
(本小题满分14分)已知函数是奇函数,且图像在点
处的切线斜率为3(
为自然对数的底数).
(1)求实数、
的值;
(2)若,且
对任意
恒成立,求
的最大值.
(本小题满分14分)如图,已知椭圆的上顶点为
,离心率为
,若不过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线过定点,并求出该定点
的坐标.
(本小题满分14分)已知、
是方程
的两根,数列
是递增的等差数列,数列
的前
项和为
,且
(
).
(1)求数列,
的通项公式;
(2)记,求数列
的前
项和
.