在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列问题:
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)哪组上交的作品数量最多?有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?
(1)焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
(2)已知双曲线的一条渐近线方程是,并经过点
,求此双曲线的标准方程.
如图,椭圆的离心率为
,
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长.
与
轴的交点为
,过坐标原点
的直线
与
相交于点
,直线
分别与
相交于点
.
(Ⅰ)求、
的方程;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)记的面积分别为
,若
,求
的取值范围
已知椭圆的中心为坐标原点,其离心率为
,椭圆
的一个焦点和抛物线
的焦点重合。
(1)求椭圆的方程
(2)过点的动直线
交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存
在一个定点,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过点
,若存在,说出点
的坐标,若不存在,说明理由。
已知抛物线,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于
两点,若线段
的中点的纵坐标为-2
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线交抛物线
于
两不同点,交
轴于点
,已知
,则
是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
如图,已知四棱锥的底面为菱形,
,
,
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.