(8分)解方程：-优题课

小慧家与文具店相距 $960 m$ ，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行 $12 \min$ 来到文具店买笔记本，停留 $3 \min$ ，因家中有事，便沿着原路匀速跑步 $6 \min$ 返回家中．

（1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？

（2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离 $y$ 与时间 $x$ 的函数图象；

（3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为 $720 m$ ？

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $AC$ ， $AB$ ， $BC$ 的中点，连接 $ED$ ， $EF$ ．

（1）求证：四边形 $DEFC$ 是矩形；

（2）请用无刻度的直尺在图中作出 $∠ ABC$ 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）化简： $\frac{2}{m^{2} - m} \div \frac{1}{m - 1}$ ；

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} x + 3 > 1 \\ 5 x ⩽ 6 + 3 x \end{matrix}$

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C : y = a x^{2} + 2 x - 1 (a \neq 0)$ 和直线 $l : y = kx + b$ ，点 $A (- 3, - 3)$ ， $B (1, - 1)$ 均在直线 $l$ 上．

（1）若抛物线 $C$ 与直线 $l$ 有交点，求 $a$ 的取值范围；

（2）当 $a = - 1$ ，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x - 1$ 的自变量 $x$ 满足 $m ⩽ x ⩽ m + 2$ 时，函数 $y$ 的最大值为 $- 4$ ，求 $m$ 的值；

（3）若抛物线 $C$ 与线段 $AB$ 有两个不同的交点，请直接写出 $a$ 的取值范围．

已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $DB$ ， $DC$ ．

（1）如图①，当 $∠ BAC = 120 °$ 时，请直接写出线段 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 之间满足的等量关系式：　 $AB + AC = AD$ 　；

（2）如图②，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，试探究线段 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若 $BC = 5$ ， $BD = 4$ ，求 $\frac{AD}{AB + AC}$ 的值．