（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB-优题课

为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋 $500 g$ ，与之相差大于 $10 g$ 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：

$[$ 收集数据 $]$ 从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位： $g)$ 如下：

甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486

502 503 498 497 491 500 505 502 504 505

乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498

502 503 501 490 501 502 511 499 499 501

$[$ 整理数据 $]$ 整理以上数据，得到每袋质量 $x (g)$ 的频数分布表．

质量

频数

机器

$485 ⩽ x < 490$

$490 ⩽ x < 495$

$495 ⩽ x < 500$

$500 ⩽ x < 505$

$505 ⩽ x < 510$

$510 ⩽ x < 515$

甲

2

4

7

4

1

乙

1

3

5

7

3

1

$[$ 分析数据 $]$ 根据以上数据，得到以下统计量．

统计量

机器

平均数

中位数

方差

不合格率

甲

499.7

501.5

42.01

$b$

乙

499.7

$a$

31.81

$10 %$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 1$ ．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点是 $A (1, 3)$ ，将 $OA$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $OB$ ，点 $B$ 恰好在抛物线上， $OB$ 与抛物线的对称轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 是线段 $AC$ 上一动点，且不与点 $A$ ， $C$ 重合，过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，与 $ΔOAB$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $ΔAMN$ 以直线 $MN$ 为对称轴翻折，得到△ $A' MN$ ，设点 $P$ 的纵坐标为 $m$ ．

①当△ $A' MN$ 在 $ΔOAB$ 内部时，求 $m$ 的取值范围；

②是否存在点 $P$ ，使 $S_{△ A' MN} = \frac{5}{6} S_{△ OA' B}$ ，若存在，求出满足条件 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $P$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $P$ 作 $AC$ 的垂线，交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $OP$ ．

（1）求证： $DP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 5$ ， $\sin ∠ APC = \frac{5}{13}$ ，求 $AP$ 的长．

某超市销售 $A$ 、 $B$ 两款保温杯，已知 $B$ 款保温杯的销售单价比 $A$ 款保温杯多10元，用480元购买 $B$ 款保温杯的数量与用360元购买 $A$ 款保温杯的数量相同．

（1） $A$ 、 $B$ 两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大， $A$ 、 $B$ 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且 $A$ 款保温杯的数量不少于 $B$ 款保温杯数量的两倍．若 $A$ 款保温杯的销售单价不变， $B$ 款保温杯的销售单价降低 $10 %$ ，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？