(本题8分)如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于-优题课

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 2 ＞ 1 \\ x + 1 ＜ 3 \end{matrix}$ ．

（1）发现：如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为AD边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$ ；

（2）探究：如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D ＝ 8 ， A B ＝ 6$ ．将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于 $G$ 点，延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H$ ，且 $F H ＝ C H$ ，求 $A E$ 的长．

（3）拓展：如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 6$ ， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D ＝ 60 °$ ．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，求 $P C$ 的长．

一个玻璃球体近似半圆 $O ， A B$ 为直径．半圆 $O$ 上点 $C$ 处有个吊灯 $E F$ ， $E F ∥ A B ， C O ⊥ A B$ ， $E F$ 的中点为 $D$ ， $O A ＝ 4$ ．

（1）如图①， $C M$ 为一条拉线， $M$ 在 $O B$ 上， $O M ＝ 1.6$ ， $D F ＝ 0.8$ ，求 $C D$ 的长度．

（2）如图②，一个玻璃镜与圆 $O$ 相切， $H$ 为切点， $M$ 为 $O B$ 上一点， $M H$ 为入射光线， $N H$ 为反射光线， $∠ O H M ＝ ∠ O H N ＝ 45 °$ ， $\tan ∠ C O H = \frac{3}{4}$ ，求 $O N$ 的长度．

（3）如图③， $M$ 是线段 $O B$ 上的动点， $M H$ 为入射光线， $∠ H O M ＝ 50 °$ ，HN为反射光线交圆 $O$ 于点N，在 $M$ 从 $O$ 运动到 $B$ 的过程中，求 $N$ 点的运动路径长．

二次函数 $y ＝ 2 x^{2}$ ，先向上平移 $6$ 个单位，再向右平移 $3$ 个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．

$y ＝ 2 x^{2}$	$y ＝ 2 （ x ﹣ 3 ）^{2} + 6$
$（ 0 ， 0 ）$	$（ 3 ， m ）$
$（ 1 ， 2 ）$	$（ 4 ， 8 ）$
$（ 2 ， 8 ）$	$（ 5 ， 14 ）$
$（ ﹣ 1 ， 2 ）$	$（ 2 ， 8 ）$
$（ ﹣ 2 ， 8 ）$	$（ 1 ， 14 ）$

（1） $m$ 的值为＿＿＿＿＿＿；

（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 5$ 与 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的交点坐标；

（3）点 $P （ x_{1} ， y_{1} ）， Q （ x_{2} ， y_{2} ）$ 在新的函数图象上，且 $P ， Q$ 两点均在对称轴同一侧，若 $y_{1} ＞ y_{2}$ ，则 $x_{1}$ ＿＿＿＿＿＿ $x_{2}$ ．（填不等号）

某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜 $1$ 元，且用 $110 元$ 购买的甲种类型的数量与用 $120$ 元购买的乙种类型的数量一样．

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共 $100$ 件，且购买的乙的数量不超过甲的 $3$ 倍，则购买的最低费用是多少．