学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图-优题课

下表是2022年1月﹣5月遵义市 $P M_{2.5}$ （空气中直径小于等于 $2.5$ 微米的颗粒）的平均值，这组数据的众数是（　　）

月份	1月	2月	3月	4月	5月
$P M_{2.5}$ （单位： $μ g / m^{3}$ ）	$24$	$23$	$24$	$25$	$22$

A．

$22$

B．

$23$

C．

$24$

D．

$25$

全国统一规定的交通事故报警电话是（　　）

A．

$122$

B．

$110$

C．

$120$

D．

$114$

已知二次函数 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＞ 0 ）$ ．

（1）若 $a ＝ 1 ， b ＝ 3$ ，且该二次函数的图象过点 $（ 1 ， 1 ）$ ，求c的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点 $A （ x_{1}, 0 ）$ 、 $B （ x_{2}, 0 ）$ ，其中 $x_{1} ＜ 0 ＜ x_{2}$ 、 $| x_{1} | ＞ | x_{2} |$ ，且该二次函数的图象的顶点在矩形 $A B F E$ 的边 $E F$ 上，其对称轴与 $x$ 轴、 $B E$ 分别交于点 $M 、 N ， B E$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，且满足 $\tan ∠ A B E = \frac{3}{4}$ ．

①求关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c ＝ 0$ 的根的判别式的值；

②若 $N P ＝ 2 B P$ ，令 $T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{16}{5} c$ ，求 $T$ 的最小值．

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式 $Δ \geq 0$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c ＝ 0 （ a \neq 0 ）$ 的两个根 $x_{1} 、 x_{2}$ 有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ”．此关系通常被称为“韦达定理”．

如图所示， $△ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 在 $⊙ O$ 上，顶点 $C$ 在 $⊙ O$ 外，边 $A C$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ， $∠ B A C ＝ 45 °$ ，连接 $O B 、 O D$ ，已知 $O D ∥ B C$ ．

（1）求证：直线 $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若线段 $O D$ 与线段 $A B$ 相交于点 $E$ ，连接 $B D$ ．

①求证： $△ A B D ∽ △ D B E$ ；

②若 $A B • B E ＝ 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径的长度．

如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A 、 B$ 分别在函数 $y_{1} = \frac{2}{x} （ x ＜ 0 ）$ 、 $y_{2} = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ， k ＞ 0 ）$ 的图象上，点 $C$ 在第二象限内， $A C ⊥ x$ 轴于点 $P$ ， $B C ⊥ y$ 轴于点 $Q$ ，连接 $A B 、 P Q$ ，已知点 $A$ 的纵坐标为 $﹣ 2$ ．

（1）求点 $A$ 的横坐标；

（2）记四边形 $A P Q B$ 的面积为 $S$ ，若点 $B$ 的横坐标为 $2$ ，试用含 $k$ 的代数式表示 $S$ ．