(本题8分)已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0）-优题课

黔东南州某销售公司准备购进 $A$ 、 $B$ 两种商品，已知购进3件 $A$ 商品和2件 $B$ 商品，需要1100元；购进5件 $A$ 商品和3件 $B$ 商品，需要1750元．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进 $A$ 商品200件， $B$ 商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件 $A$ 商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件 $B$ 商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．

①设运往甲地的 $A$ 商品为 $x$ （件 $)$ ，投资总运费为 $y$ （元 $)$ ，请写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

②怎样调运 $A$ 、 $B$ 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用 $=$ 购进商品的费用 $+$ 运费）

如图， $PA$ 是以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OP$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 6$ ， $\cos ∠ PAB = \frac{3}{5}$ ，求 $PO$ 的长．

为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了"党在我心中"党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）上表中的 $m =$ 　　， $n =$ 　　， $p =$ 　　．

（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．

（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？

（4）现要从 $E$ 组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛， $E$ 组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．

（1）计算： $2 \cos 30 ° - 2^{- 1} - \sqrt{12} - | \sqrt{3} - 2 | + {(3.14 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简： $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ ，然后 $x$ 从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．

（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $ACDE$ 的中心 $O$ ，作 $FG ⊥ HP$ ，将它分成4份，所分成的四部分和以 $BC$ 为边的正方形恰好能拼成以 $AB$ 为边的正方形．若 $AC = 12$ ， $BC = 5$ ，求 $EF$ 的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$ 的边长为定值 $n$ ，小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ．

已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = α$ ，当角 $α (0 ° < α < 90 °)$ 变化时，探究 $b$ 与 $c$ 的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$ 与 $c$ 的关系式用含 $n$ 的式子表示）．