如图，矩形的对角线和相交于点，,试判断四边形的形状，并说明理-优题课

某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 $A$ 处的济南舰突然发现北偏西 $30 °$ 方向上的 $C$ 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里 $B$ 处的西安舰，西安舰测得 $C$ 处位于其北偏西 $60 °$ 方向上，请问此时两舰距 $C$ 处的距离分别是多少？

如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $AB$ 、 $CB$ 上，且 $∠ ADM = ∠ CDN$ ，求证： $BM = BN$ ．

先化简，再求值： $1 + \frac{m - n}{m - 2 n} \div \frac{n^{2} - m^{2}}{m^{2} - 4 mn + 4 n^{2}}$ ，其中 $m$ ， $n$ 满足 $\frac{m}{3} = - \frac{n}{2}$ ．

计算： ${(2021 - π)}^{0} - | 3 - \sqrt{12} | + 4 \cos 30 ° - {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

已知点 $O$ 是线段 $AB$ 的中点，点 $P$ 是直线 $l$ 上的任意一点，分别过点 $A$ 和点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为点 $C$ 和点 $D$ ．我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距"．

（1） $[$ 猜想验证 $]$ 如图1，当点 $P$ 与点 $O$ 重合时，请你猜想、验证后直接写出"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是　　．

（2） $[$ 探究证明 $]$ 如图2，当点 $P$ 是线段 $AB$ 上的任意一点时，"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3） $[$ 拓展延伸 $]$ 如图3，①当点 $P$ 是线段 $BA$ 延长线上的任意一点时，"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若 $∠ COD = 60 °$ ，请直接写出线段 $AC$ 、 $BD$ 、 $OC$ 之间的数量关系．