计算：-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $AD$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．

（1）求证： $∠ CAD = ∠ CAB$ ；

（2）若 $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$ ， $AC = 2 \sqrt{6}$ ，求 $CD$ 的长．

为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了　　名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为　　；

（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；

（3）现从最喜欢夏季的3名同学 $A$ ， $B$ ， $C$ 中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到 $A$ ， $B$ 去参加比赛的概率．

如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (2, m)$ 和 $B$ 两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点 $B$ 的坐标．

热气球的探测器显示，从热气球 $A$ 处看大楼 $BC$ 顶部 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，看大楼底部 $B$ 的俯角为 $45 °$ ，热气球与该楼的水平距离 $AD$ 为60米，求大楼 $BC$ 的高度．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

化简： $(\frac{3}{a - 2} - \frac{1}{a + 2}) \cdot (a^{2} - 4)$ ．