如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB-优题课

把一副三角板如图甲放置，其中 $∠ ACB = ∠ DEC = 90^{\circ}, ∠ A = 45^{\circ}, ∠ D = 30^{\circ}$ ，斜边 $AB = 6$ ， $DC = 7$ ，把三角板 $DCE$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $15^{\circ}$ 得到 $△ D_{1} C E_{1}$ （如图乙），此时 $AB$ 与 $C D_{1}$ 交于点 $O$ ，则线段 $A D_{1}$ 的长度为（）

A．

$3 \sqrt{2}$

B．

$5$

C．

$4$

D．

$\sqrt{31}$

如图，在边长为 $α$ 的正方形 $ABCD$ 中，把边 $BC$ 绕点 $B$ 逆时针㧍转 $60^{\circ}$ ，得到线段 $BM$ ，连接 $AM$ 并延长交 $CD$ 于点 $N$ ，连接 $MC$ ，则 $△ MNC$ 的面积为（）

A．

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} a^{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2} - 1}{2} a^{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} a^{2}$

D．

$\frac{\sqrt{2} - 1}{4} a^{2}$

如图，在 $R t △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, ∠ ABC = 31^{\circ}$ ，将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α$ 角 $(0^{\circ} < α < 180^{\circ})$ 至 $△ A^{'} B^{'} C$ ，使得点 $A^{'}$ 恰好落在 $AB$ 边上，则 $α$ 等于（）

A．

$149^{\circ}$

B．

$69^{\circ}$

C．

$62^{\circ}$

D．

$31^{\circ}$

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5, BC = 5 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 在线段 $BC$ 上运动（含 $B, C$ 两点），连接 $AP$ ，以点 $A$ 为中心，将线段 $AP$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 到 $AQ$ ，连接 $DQ$ ，则线段 $DQ$ 的最小值为（）

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$5 \sqrt{2}$

C．

$\frac{3 \sqrt{3}}{3}$

D．

$3$

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ BAC = 120^{\circ}$ ，将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $△ DEC$ ，点 $A, B$ 的对应点分别为点 $D, E$ ，连接 $AD$ .当点 $A, D, E$ 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）

A．	$∠ ABC = ∠ ADC$	B．	$CH = CD$
C．	$DE + DC = BC$	D．	$AB / / CD$