已知函数，当时，函数取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若对任-优题课

已知函数，当时，函数取得极值．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ -中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A_{1} A = 4$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

（1）证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；
（2）求二面角 $A_{1} - B D - B_{1}$ 的平面角的余弦值.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ .

（1）求 $\tan C$ 的值；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $7$ ，求 $b$ 的值.

已知函数 $f (x) = |x + 1| - 2 |x - a|, a > 0$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 图像与 $x$ 轴围成的三角形面积大于6，求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1} : x = - 2$ ，圆 $C_{2} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}, C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $△ C_{2} M N$ 的面积.

如图 $A B$ 是圆 $O$ 直径， $A C$ 是 $圆 O$ 切线， $B C$ 交 $圆 O$ 与点 $E$ .

（Ⅰ）若 $D$ 为 $A C$ 中点，求证： $D E$ 是 $圆 O$ 切线；
（Ⅱ）若 $O A = \sqrt{3} C E$ ，求 $∠ A C B$ 的大小.

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