如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．（1）求-优题课

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生

（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $p_{i} (i = 1, 2, 3)$ ；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行 $n$ 次后，统计记录输出y的值为 $i (i = 1, 2, 3 ）$ 的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出 $y$ 的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计图（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当 $n = 2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为 $i (i = 1, 2, 3 ）$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出 $y$ 的值为2的次数 $ξ$ 的分布列及数学期望．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别 $a, b, c$ ，且 $2 \cos^{2} \frac{A - B}{2} \cos B - \sin (A - B) \sin B + \cos (A + C) = - \frac{3}{5}$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
（2）若 $a = 4 \sqrt{2}, b = 5$ ，求向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影．

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 8$ ，且 $a_{4}$ 为 $a_{2}$ 和 $a_{9}$ 的等比中项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的首项，公差及前 $n$ 项和．

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + a, x < 0 \\ \ln (x), x > 0 \end{cases}$ ，其中 $a$ 是实数．设 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1 <} x_{2}$ ．
（Ⅰ）指出函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2} < 0$ ，证明： $x_{2} - x_{1} \geq 1$ ；
（Ⅲ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．

已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，点 $O$ 是坐标原点．直线 $l$ ： $y = k x$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ）设 $Q (m, n)$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{{|O Q|}^{2}} = \frac{1}{{|O M^{}|}^{2}} + \frac{1}{{|O N|}^{2}}$ ．请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．