设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（），其图象上任意一-优题课

设函数
（1）当时，求的最大值；
（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

科目数学题型解答题难度中等

（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设，把y表示成的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 1, g (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ 其中实数 $a \neq 0$ ．
（Ⅰ）若 $a > 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）当函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象只有一个公共点且 $g (x)$ 存在最小值时，记 $g (x)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的值域；
（Ⅲ）若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(a, a + 2)$ 内均为增函数，求 $a$ 的取值范围．

已知抛物线 $C$ ： $y = 2 x^{2}$ ，直线 $y = k x + 2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$ ．
（Ⅰ）证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $A B$ 平行；
（Ⅱ）是否存在实数 $k$ 使 $\overset{⇀}{N A} \cdot \overset{⇀}{N B} = 0$ ，若存在，求 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ ．

（Ⅰ）证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 是等比数列；

（Ⅱ）数列 $\{\frac{n}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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