定义新运算，规则：，如，。若的两根为，则＝▲-优题课

题文

定义新运算“”，规则：，如，。若的两根为，则＝ ▲

科目数学题型填空题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

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如图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O ， A_{2} B_{2} C_{2} C_{1} ， A_{3} B_{3} C_{3} C_{2}$ …，按如图所示的方式放置点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ，$ …和点 $C_{1} ， C_{2} ， C_{3} ，$ …分别在直线 $y ＝ kx ＋ b (k ＞ 0)$ 和 $x$ 轴上，已知点 $B_{1} (1 ， 1)$ ， $B_{2} (3 ， 2)$ ，则 $B_{n}$ 的坐标是＿＿＿＿＿．

已知直线 $y ＝ \frac{- （ n ＋ 1 ）}{n ＋ 2} x ＋ \frac{1}{n ＋ 2} （ n$ 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为 $S_{n}$ ，则 $S_{1} ＋ S_{2} ＋ S_{3} ＋ \dots ＋ S_{2022} ＝$ ＿＿＿＿＿．

在平面直角坐标系中，直线 $y ＝ - \frac{4}{3} x ＋ 8$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，把直线 $y ＝ - \frac{4}{3} x ＋ 8$ 沿过点 $A$ 的直线翻折，使 $B$ 与 $x$ 轴上的点 $C$ 重合，折痕与 $y$ 轴交于点 $D$ ，则直线 $CD$ 的解析式为＿＿＿＿＿．

如图，已知一条直线经过点 $A (0 ， 2)$ ，点 $B (1 ， 0)$ ，将这条直线向左平移与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $C$ ，点 $D$ ，若 $AB ＝ DC$ ，则直线 $CD$ 的函数解析式为＿＿＿＿＿．

如果记 $y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = f (x)$ ，同理 $f (1)$ 表示当 $x = 1$ 时 $y$ 的值，即 $f (1) = \frac{1^{2}}{1 + 1^{2}} = \frac{1}{2}$ ，同理 $f (\frac{1}{2})$ 表示当 $x = \frac{1}{2}$ 时 $y$ 的值，即 $f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{5}$ ，……，那么 $f (1) + f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) + \dots + f (n) + f (\frac{1}{n}) =$ ＿＿＿＿＿．（结果用含有 $n$ 的代数式表示， $n$ 为正整数）

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