如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨-优题课

有人设计了一种可测速的跑步机，测速原理如图所示，该机底面固定有间距为 $L$ 、长度为 $d$ 的平行金属电极，电极间充满磁感应强度为 $B$ 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和电阻 $R$ 。绝缘橡胶带上镀有间距为 $d$ 的平行细金属条，磁场中始终仅有一根金属条，且与电极接触良好，不计金属电阻。若橡胶带匀速运动时，电压表读数为 $U$ ，求：

(1)橡胶带匀速运动的速率。

(2)电阻 $R$ 消耗的电功率。

(3)一根金属条每次经过磁场区域克服安培力做的功。

如图，在区域 $I$ $（ 0 \leq x \leq d ）$ 和区域 $I I （ d \leq x \leq 2 d ）$ 内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为 $B$ 和2 $B$ ，方向相反，且都垂直于 $O x y$ 平面。一质量为 $m$ 、带电荷量 $q （ q ＞ 0 ）$ 的粒子 $a$ 于某时刻从 $y$ 轴上的 $P$ 点射入区域 $I$ ，其速度方向沿 $x$ 轴正向。已知 $a$ 在离开区域 $I$ 时，速度方向与 $x$ 轴正方向的夹角为30°；因此，另一质量和电荷量均与 $a$ 相同的粒子 $b$ 也从 $p$ 点沿 $x$ 轴正向射入区域 $I$ ，其速度大小是 $a$ 的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求
（1）粒子 $a$ 射入区域 $I$ 时速度的大小；

（2）当 $a$ 离开区域 $I I$ 时， $a 、 b$ 两粒子的 $y$ 坐标之差。

甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

如图所示：正方形绝缘光滑水平台面 $W X Y Z$ 边长 $l = 1.8 m$ ，距地面 $h = 0.8 m$ 。平行板电容器的极板 $C D$ 间距 $d = 0.1 m$ 且垂直放置于台面， $C$ 板位于边界 $W X$ 上， $D$ 板与边界 $W Z$ 相交处有一小孔。电容器外的台面区域内有磁感应强度 $B = 1 T$ 、方向竖直向上的匀强磁场。电荷量 $q = 5 \times 10^{- 13} C$ 的微粒静止于 $W$ 处，在 $C D$ 间加上恒定电压 $U = 2.5 V$ ，板间微粒经电场加速后由 $D$ 板所开小孔进入磁场（微粒始终不与极板接触），然后由 $X Y$ 边界离开台面。在微粒离开台面瞬时，静止于 $X$ 正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇。假定微粒在真空中运动、极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点，滑块与地面间的动摩擦因数 $u = 0.2$ ，取 $g = 10 m / s^{2}$

（1）求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板地极性；

（2）求由 $X Y$ 边界离开台面的微粒的质量范围；

（3）若微粒质量 $m_{o} = 1 \times 10^{- 13} k g$ ，求滑块开始运动时所获得的速度。

如图所示，间距 $l = 0.3 m$ 的平行金属导轨 $a_{1} b_{1} c_{1}$ 和 $a_{2} b_{2} c_{2}$ 分别固定在两个竖直面内，在水平面 $a_{1} b_{1} b_{2} a_{2}$ 区域内和倾角 $θ = 37 °$ 的斜面 $c_{1} b_{1} b_{2} c_{2}$ 区域内分别有磁感应强度 $B_{1} = 0.4 T$ 、方向竖直向上和 $B_{2} = 1 T$ 、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻 $R = 0.3 Ω$ 、质量 $m_{1} = 0.1 k g$ 、长为 $l$ 的相同导体杆 $K, S, Q$ 分别放置在导轨上， $S$ 杆的两端固定在 $b_{1}, b_{2}$ 点， $K, Q$ 杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于 $K$ 杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质滑轮自然下垂，绳上穿有质量 $m_{2} = 0.05 k g$ 的小环。已知小环以 $a$ ="6" $m / s^{2}$ 的加速度沿绳下滑， $K$ 杆保持静止， $Q$ 杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取 $g$ ="10" $m / s^{2}$ ， $\sin 37 °$ =0.6， $\cos 37 °$ =0.8。求

（1）小环所受摩擦力的大小；
（2） $Q$ 杆所受拉力的瞬时功率。