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题文

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵,向量
(I)求矩阵的特征值和特征向量
(II)求的值.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)已知:a、b、;  
(Ⅱ)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3,求其对角线长的最小值.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难
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(本题14分)
已知函数R).
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;
(2)在(1)条件下,求函数的单调区间和极值;
(3)当,且时,证明:

(本题13分)
已知数列满足:其中为实数,为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(本题12分)
某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图一所示;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图二所示(利润与投资单位:万元).

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

(本题12分)
研究问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,有如下解法:
解:由,令,则
所以不等式的解集为
参考上述解法,已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集.

(本题12分)
某学校高三年级有学生1000名,经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按 A类、B类分二层)从该年级的学生中共抽查100名同学,如果以身高达165cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:
体育锻炼与身高达标2×2列联表


身高达标
身高不达标
总计
积极参加
体育锻炼
40


不积极参加
体育锻炼

15

总计


100

(1)完成上表;
(2)请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系(K2值精确到0.01)?
参考公式:K2=,参考数据:

P(K2≥k0)
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
K0
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

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