求值-优题课

记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数,例如 $[2] = 2, [1.5] = 1, [- 0.3] = - 1$ .设 $a$ 为正整数,数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = a$ ， $x_{n + 1} = [\frac{x_{n} + [\frac{a}{x_{n}}]}{2}] (n \in N^{*})$ ，现有下列命题：
①当 $a = 5$ 时，数列 $\{x_{n}\}$ 的前3项依次为5,3,2；
②对数列 $\{x_{n}\}$ 都存在正整数 $k$ ，当 $n \geq k$ 时总有 $x_{n} = x_{k}$ ；
③当 $n \geq 1$ 时， $x_{n} > \sqrt{a} - 1$ ；
④对某个正整数 $k$ ，若 $x_{k + 1} \geq x_{k}$ ，则 $x_{n} = [\sqrt{a}]$ .
其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）

椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $x = m$ 与椭圆相交于点 $A, B$ ，当 $△ F A B$ 的周长最大时， $△ F A B$ 的面积是.

如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别是 $C D, C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的大小是.

设全集 $U = {a, b, c, d}$ ，集合 $A = {a, b}, B = {b, c, d}$ ，则 $(C_{U} A) \cup (C_{U} B) =$ .

如图， $A D$ 与 $B C$ 是四面体 $A B C D$ 中互相垂直的棱， $B C = 2$ . 若 $A D = 2 c$ ，且 $A B + B D = A C + C D = 2 a$ ，其中 $a$ 、 $c$ 为常数，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值是.