18．(本小题满分13分)如图，直二面角中，四边形是边长为2-优题课

18．(本小题满分13分)
如图，直二面角中，四边形是边长为
2的正方形，为CE上的点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥E-ABC的体积．

科目数学题型解答题难度中等

记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

（2）求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）设 $a$ ， $b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ .

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{17}, 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{17}, 0) |M F_{1}| - |M F_{2}| = 2$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设点 $T$ 在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点和 $P$ ， $Q$ 两点，且 $|TA| \cdot |TB| = |TP| \cdot |TQ|$ ，求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和.

如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，平面 $ABD ⊥$ 平面 $BCD$ ， $AB = AD$ ， $O$ 为 $BD$ 的中点.

（1）证明： $OA ⊥ CD$ ；

（2）若 $△ OCD$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $AD$ 上， $DE = 2 EA$ ，且二面角 $E - BC - D$ 的大小为 $45 °$ ，求三棱锥 $A - BCD$ 的体积.

记 $△ ABC$ 是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b^{2} = ac$ ，点 $D$ 在边 $AC$ 上， $BD \sin ∠ ABC = a \sin C$ .

（1）证明：；

（2）若 $AD = 2 DC$ ，求 $\cos ∠ ABC$