先化简，再求值：，其中x3.-优题课

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 坐标为 $(1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $AC$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $∠ PAB = 2 ∠ ACO$ ．求点 $P$ 的坐标；

（3）如图②，点 $Q$ 为 $x$ 轴下方抛物线上任意一点，点 $D$ 是抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点，直线 $AQ$ 、 $BQ$ 分别交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．请问 $DM + DN$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加 $x$ 元，每天售出 $y$ 件．

（1）请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）当 $x$ 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利 $w$ 元，当 $x$ 为多少时 $w$ 最大，最大值是多少？

宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 $AB$ 、 $CD$ 都与地面 $l$ 平行，车轮半径为 $32 cm$ ， $∠ BCD = 64 °$ ， $BC = 60 cm$ ，坐垫 $E$ 与点 $B$ 的距离 $BE$ 为 $15 cm$ ．

（1）求坐垫 $E$ 到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫 $E$ 到 $CD$ 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 $80 cm$ ，现将坐垫 $E$ 调整至坐骑舒适高度位置 $E^{'}$ ，求 $EE'$ 的长．

（结果精确到 $0.1 cm$ ，参考数据： $\sin 64 ° \approx 0.90$ ， $\cos 64 ° \approx 0.44$ ， $\tan 64 ° \approx 2.05)$

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 1, m)$ 、 $B (n, - 1)$ 两点．

（1）求一次函数表达式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积．

先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{a - 1}) \div \frac{2 a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = - 2$ ．