如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足-优题课

如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sinE的值.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

已知：如图， $E$ ， $F$ 为 $▱ ABCD$ 对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ，连接 $BE$ ， $DF$ ，求证： $BE = DF$ ．

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 坐标为 $(6, 0)$ ，点 $C$ 坐标为 $(0, 6)$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $BD$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$ 的坐标；

（2）点 $F$ 是抛物线上的动点，当 $∠ FBA = ∠ BDE$ 时，求点 $F$ 的坐标；

（3）若点 $M$ 是抛物线上的动点，过点 $M$ 作 $MN / / x$ 轴与抛物线交于点 $N$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，点 $Q$ 在坐标平面内，以线段 $MN$ 为对角线作正方形 $MPNQ$ ，请写出点 $Q$ 的坐标．

已知正方形 $ABCD$ ， $P$ 为射线 $AB$ 上的一点，以 $BP$ 为边作正方形 $BPEF$ ，使点 $F$ 在线段 $CB$ 的延长线上，连接 $EA$ ， $EC$ ．

（1）如图1，若点 $P$ 在线段 $AB$ 的延长线上，求证： $EA = EC$ ；

（2）如图2，若点 $P$ 在线段 $AB$ 的中点，连接 $AC$ ，判断 $ΔACE$ 的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点 $P$ 在线段 $AB$ 上，连接 $AC$ ，当 $EP$ 平分 $∠ AEC$ 时，设 $AB = a$ ， $BP = b$ ，求 $a : b$ 及 $∠ AEC$ 的度数．

我们知道，任意一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解： $n = p \times q (p$ ， $q$ 是正整数，且 $p ⩽ q)$ ，在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$ ， $q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解．并规定： $F (n) = \frac{p}{q}$ ．

例如12可以分解成 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ 或 $3 \times 4$ ，因为 $12 - 1 > 6 - 2 > 4 - 3$ ，所以 $3 \times 4$ 是12的最佳分解，所以 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．

（1）如果一个正整数 $m$ 是另外一个正整数 $n$ 的平方，我们称正整数 $m$ 是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数 $m$ ，总有 $F (m) = 1$ ；

（2）如果一个两位正整数 $t$ ， $t = 10 x + y (1 ⩽ x ⩽ y ⩽ 9$ ， $x$ ， $y$ 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数 $t$ 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

（3）在（2）所得“吉祥数”中，求 $F (t)$ 的最大值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $O$ 在 $AB$ 上，以点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆恰好经过点 $D$ ，分别交 $AC$ ， $AB$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）试判断直线 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = 2 \sqrt{3}$ ， $BF = 2$ ，求阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．