如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高-优题课

欧拉 $(Euler$ ，1707年 $~ 1783$ 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 $V (Vertex)$ 、棱数 $E (Edge)$ 、面数 $F (Flatsurface)$ 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数 $V$	4	6	8	6
棱数 $E$	6		12
面数 $F$	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 $V$ 、 $E$ 、 $F$ 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x + 1) ⩽ 7 x + 13, \\ x - 4 < \frac{x - 8}{3}, \end{matrix}$ 并求它的所有整数解的和．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $OA = 2 OB$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ，抛物线对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ， $D$ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ，与 $AC$ 交于点 $F$ ，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $DF$ 的长度最大时，求 $D$ 点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $E$ 是边 $AC$ 上一定点，点 $D$ 是直线 $BC$ 上一动点，以 $DE$ 为一边作等边三角形 $DEF$ ，连接 $CF$ ．

【问题解决】

如图1，若点 $D$ 在边 $BC$ 上，求证： $CE + CF = CD$ ；

【类比探究】

如图2，若点 $D$ 在边 $BC$ 的延长线上，请探究线段 $CE$ ， $CF$ 与 $CD$ 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

测量对象	男性 $(18 ~ 60$ 岁）				女性 $(18 ~ 55$ 岁）
抽样人数（人 $)$	2000	5000	20000	2000		5000	20000
平均身高（厘米）	173	175	176	164		165	164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　176　厘米，女性应采用　　厘米；

（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 $P$ 距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆 $AB$ ， $AC$ 的连接点 $A$ 处， $A$ 点距地面110厘米．臂杆落下时两端点 $B$ ， $C$ 在同一水平线上， $BC = 100$ 厘米，点 $C$ 在点 $P$ 的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

计算器按键顺序	计算结果（近似值）	计算器按键顺序	计算结果（近似值）
	0.1		78.7
	0.2		84.3
	1.7		5.7
	3.5		11.3