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科目数学题型填空题难度中等

知识点：分式函数的最值

如图， $AB, CD$ 为 $⊙ O$ 的两条弦， $CD = 1, AB = m + n \sqrt{5}$ （ $m, n$ 为有理数），弧 $AB, CD$ 的度数分别为 $108^{\circ}, 36^{\circ}$ ，则 $108 m - 36 n =$ ＿＿＿＿＿.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, BC = 8, AC = 6$ ，以点 $C$ 为圆心， $4$ 为半径的圆上有一动点 $D$ ，连接 $AD, BD, CD$ ，则 $\frac{1}{2} BD + AD$ 的最小值是＿＿＿＿＿.

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB = AC = 4, AF ⊥ BC$ 于点 $F, BH ⊥ AC$ 于点 $H$ ，交 $AF$ 于点 $G$ ，点 $D$ 在直线 $AF$ 上运动， $BD = DE, ∠ BDE = 135^{\circ}, ∠ ABH = 45^{\circ}$ ，当 $AE$ 取最小值时， $BE$ 的长为＿＿＿＿＿.

一个铝质三角形框架三条边长分别为 $24 cm, 30 cm, 36 cm$ ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为 $20 cm, 45 cm$ 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有＿＿＿＿＿种.

如图，在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，点 $F$ 在 $CD$ 上，且 $CF = 3 DF, AE, BF$ 相交于点 $G$ ，则 $△ AGF$ 的面积是＿＿＿＿＿.

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